Para escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo, determine a distância radial a partir do eixo do tubo na qual a velocidade iguala-se à velocidade média.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a distância radial a partir do eixo do tubo na qual a velocidade local do escoamento é igual à velocidade média do escoamento, para um escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo.
Informações relevantes (variáveis que vamos usar):
Informações relevantes (variáveis que vamos usar):
-
= distância radial a partir do eixo (variável que queremos achar). -
= raio do tubo (valor conhecido do problema, usado como referência). -
= velocidade axial local em função do raio . -
= velocidade média (média por área) no corte transversal do tubo. - O escoamento é laminar e completamente desenvolvido: perfil de velocidade é independente da coordenada axial e satisfaz as condições de contorno típicas (no desvio do eixo a velocidade é finita; na parede vale o não deslizamento
).
O que se quer encontrar, em termos práticos: o valor de
(em função de
) tal que
Passo 2
Primeiro, vou lembrar (e derivar de forma simples) qual é o perfil de velocidade para escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular (perfil de Poiseuille). Condições físicas e simplificações que usamos:
- Escoamento estacionário e incompressível.
- Fluxo unidirecional: só existe componente axial de velocidade
, que chamarei apenas de . - Simetria axial e independente de
(completamente desenvolvido): . - A única força axial relevante é o gradiente de pressão constante
(negativo quando a pressão decresce no sentido do escoamento).
Nessas condições, a equação da quantidade de movimento reduz a uma equação ordinária em. A forma útil é
onde
é a viscosidade dinâmica e
é constante ao longo do tubo. (Não é preciso saber tudo sobre a derivação da equação de Navier–Stokes para aceitar essa forma; ela resulta da aplicação das hipóteses acima.)
Passo 3
Agora resolvo a equação diferencial passo a passo. Integro a equação uma vez em
:
Integração:
onde
é constante de integração. Para que
seja finito no eixo
é necessário que
(caso contrário haveria singularidade em
). Assim
Integro novamente:
onde
é outra constante. Uso a condição de não deslizamento na parede:
. Substituindo:
Portanto o perfil de velocidade fica
Como, em geral,
(a pressão decresce no sentido do escoamento), costuma-se escrever o mesmo perfil na forma positiva
onde o valor máximo no centro
é
Essa é a famosa parábola de Poiseuille: velocidade máxima no centro e nula na parede.
Passo 4
Agora calculo a velocidade média
. Definição:
é a vazão volumétrica por área da seção. Para perfil axisimétrico,
Substituo a forma
:
Calculo as integrais:
Substituindo:
Portanto a relação importante (e muito usada em provas) é
Ou equivalentemente
. Essa é uma conclusão prática: a velocidade média é metade da velocidade máxima no centro para fluxo laminar totalmente desenvolvido em tubo circular.
Passo 5
Agora encontro o raio
em que
. Começo da forma
Substituo
(da Passo 4) e imponho
:
Divido ambos os lados por
(assumindo
):
Resolvo para
:
Portanto
Passo 6
Interpretação física e dica de prova: a velocidade média ocorre a
do eixo. Na prática, para esse problema basta lembrar o perfil parabólico e a relação
; então a resolução algébrica que leva a
é curta. Mantenha na cabeça: para Poiseuille em tubo circular, média é metade do máximo — isso economiza tempo na prova. Força aí, você consegue!