Para escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo, determine a distância radial a partir do eixo do tubo na qual a velocidade iguala-se à velocidade média.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a distância radial a partir do eixo do tubo na qual a velocidade local do escoamento é igual à velocidade média do escoamento, para um escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo.
Informações relevantes (variáveis que vamos usar):
  • r = distância radial a partir do eixo (variável que queremos achar).
  • R = raio do tubo (valor conhecido do problema, usado como referência).
  • u(r) = velocidade axial local em função do raio r.
  • \bar{u} = velocidade média (média por área) no corte transversal do tubo.
  • O escoamento é laminar e completamente desenvolvido: perfil de velocidade é independente da coordenada axial e satisfaz as condições de contorno típicas (no desvio do eixo a velocidade é finita; na parede vale o não deslizamento u(R)=0).
O que se quer encontrar, em termos práticos: o valor de r (em função de R) tal que
u(r)=\bar{u}.

Passo 2

Primeiro, vou lembrar (e derivar de forma simples) qual é o perfil de velocidade para escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular (perfil de Poiseuille). Condições físicas e simplificações que usamos:
  • Escoamento estacionário e incompressível.
  • Fluxo unidirecional: só existe componente axial de velocidade u_z(r), que chamarei apenas de u(r).
  • Simetria axial e independente de z (completamente desenvolvido): \partial/\partial z = 0.
  • A única força axial relevante é o gradiente de pressão constante \dfrac{dp}{dz} (negativo quando a pressão decresce no sentido do escoamento).
    Nessas condições, a equação da quantidade de movimento reduz a uma equação ordinária em r. A forma útil é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz},
onde \mu é a viscosidade dinâmica e \dfrac{dp}{dz} é constante ao longo do tubo. (Não é preciso saber tudo sobre a derivação da equação de Navier–Stokes para aceitar essa forma; ela resulta da aplicação das hipóteses acima.)

Passo 3

Agora resolvo a equação diferencial passo a passo. Integro a equação uma vez em r:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=\frac{r}{\mu}\frac{dp}{dz}.
Integração:
r\frac{du}{dr}=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^{2}}{2}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Para que \dfrac{du}{dr} seja finito no eixo r=0 é necessário que C_{1}=0 (caso contrário haveria singularidade em r=0). Assim
\frac{du}{dr}=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r}{2}.
Integro novamente:
u(r)=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^{2}}{4}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante. Uso a condição de não deslizamento na parede: u(R)=0. Substituindo:
0=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R^{2}}{4}+C_{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R^{2}}{4}.
Portanto o perfil de velocidade fica
u(r)=\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{r^{2}-R^{2}}{4}.
Como, em geral, \dfrac{dp}{dz}<0 (a pressão decresce no sentido do escoamento), costuma-se escrever o mesmo perfil na forma positiva
u(r)=u_{\max}\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right),
onde o valor máximo no centro u_{\max} é
u_{\max}=-\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dz}\cdot\frac{R^{2}}{4}.
Essa é a famosa parábola de Poiseuille: velocidade máxima no centro e nula na parede.

Passo 4

Agora calculo a velocidade média \bar{u}. Definição: \bar{u} é a vazão volumétrica por área da seção. Para perfil axisimétrico,
\bar{u}=\frac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} 2\pi r\,u(r)\,dr.
Substituo a forma u(r)=u_{\max}\left(1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^{2}\right):
\bar{u}=\frac{2}{R^{2}} \int_{0}^{R} r\,u_{\max}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right) dr = \frac{2u_{\max}}{R^{2}} \left(\int_{0}^{R} r\,dr - \frac{1}{R^{2}}\int_{0}^{R} r^{3}dr\right).
Calculo as integrais:
\int_{0}^{R} r\,dr=\frac{R^{2}}{2},\qquad \int_{0}^{R} r^{3}dr=\frac{R^{4}}{4}.
Substituindo:
\bar{u}=\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\left(\frac{R^{2}}{2}-\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{R^{4}}{4}\right) =\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\left(\frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{2}}{4}\right) =\frac{2u_{\max}}{R^{2}}\cdot\frac{R^{2}}{4} =\frac{u_{\max}}{2}.
Portanto a relação importante (e muito usada em provas) é
\bar{u}=\frac{1}{2}u_{\max}.
Ou equivalentemente u_{\max}=2\bar{u}. Essa é uma conclusão prática: a velocidade média é metade da velocidade máxima no centro para fluxo laminar totalmente desenvolvido em tubo circular.

Passo 5

Agora encontro o raio r em que u(r)=\bar{u}. Começo da forma
u(r)=u_{\max}\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right).
Substituo u_{\max}=2\bar{u} (da Passo 4) e imponho u(r)=\bar{u}:
\bar{u}=2\bar{u}\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right).
Divido ambos os lados por \bar{u} (assumindo \bar{u}\neq 0):
1=2\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right).
Resolvo para \dfrac{r}{R}:
1=2-2\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\quad\Rightarrow\quad 2\left(\frac{r}{R}\right)^{2}=1\quad\Rightarrow\quad \left(\frac{r}{R}\right)^{2}=\frac{1}{2}.
Portanto
\frac{r}{R}=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{R}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Interpretação física e dica de prova: a velocidade média ocorre a r\approx0{,}707\,R do eixo. Na prática, para esse problema basta lembrar o perfil parabólico e a relação u_{\max}=2\bar{u}; então a resolução algébrica que leva a r/R=1/\sqrt{2} é curta. Mantenha na cabeça: para Poiseuille em tubo circular, média é metade do máximo — isso economiza tempo na prova. Força aí, você consegue!

Resposta

r=\frac{R}{\sqrt{2}}

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