Um bocal é conectado a uma mangueira de incêndio lisa, revestida de borracha, com 100 m de comprimento e 3,5 \mathrm{~cm} de diâmetro. Água de um hidrante é fornecida a 350 kPa (manométrica) para uma bomba auxiliar instalada no carro dos bombeiros. Nas condições de projeto, a pressão na entrada do bocal é 700 kPa (manométrica), e a queda de pressão ao longo da mangueira é de 750 kPa por 100 m de comprimento. Determine:
(a) a vazão de projeto;
(b) a velocidade de saída do bocal, considerando inexistência de perdas neste;
(c) a potência requerida para acionar a bomba auxiliar, sendo sua eficiência de 70 \%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados:
  • comprimento da mangueira: L=100\\ \text{m}.
  • diâmetro interno da mangueira (e do bocal): D=3{,}5\\ \text{cm}.
  • pressão fornecida pelo hidrante (manométrica): p_{\text{hid}}=350\\ \text{kPa}.
  • pressão na entrada do bocal (manométrica, nas condições de projeto): p_{\text{bocal}}=700\\ \text{kPa}.
  • queda de pressão ao longo da mangueira: 750\\ \text{kPa} por 100\\ \text{m} (logo para L=100\\ \text{m} a perda é \Delta p_{\text{perda}}=750\\ \text{kPa}).
  • a mangueira é lisa e revestida de borracha (isso explica a perda dada, mas não precisamos calcular f).
  • o bocal é considerado sem perdas (sem perda adicional no bocal).
  • eficiência da bomba auxiliar: \eta=70\%.
O enunciado pede:
(a) a vazão de projeto Q;
(b) a velocidade de saída do bocal v, considerando inexistência de perdas no bocal;
(c) a potência requerida para acionar a bomba auxiliar (potência de entrada ao eixo da bomba), dado \eta=0{,}70.
Observação: todas as pressões citadas são manométricas (gauge). Considera-se água com densidade \rho=1000\\ \text{kg/m}^3 e aceleração da gravidade \,g não será necessária porque não há diferença de cota relevante no enunciado.

Passo 2

Converter unidades e escrever valores úteis em SI:
  • D=3{,}5\\ \text{cm}=0{,}035\\ \text{m}.
  • Área da seção interna do bocal (círculo):
A=\frac{\pi D^2}{4}.
  • Pressões em pascal:
p_{\text{bocal}}=700\\ \text{kPa}=700\,000\\ \text{Pa}, \qquad p_{\text{hid}}=350\\ \text{kPa}=350\,000\\ \text{Pa},
\Delta p_{\text{perda}}=750\\ \text{kPa}=750\,000\\ \text{Pa}.
  • Densidade da água: \rho=1000\\ \text{kg/m}^3.
Explicação rápida do uso das pressões manométricas: como as pressões são dadas em relação à atmosfera, ao aplicar a equação de Bernoulli entre a entrada do bocal (pressão manométrica p_{\text{bocal}}) e o jato livre ao ar livre (pressão atmosférica = 0 em escala manométrica), podemos usar diretamente os valores manométricos.

Passo 3

Determinar a velocidade de saída v a partir da pressão na entrada do bocal (sem perdas no bocal).
Ideia física e fórmula: a pressão manométrica no interior, imediatamente antes do bocal, será convertida em energia cinética do jato (pois a pressão de saída é a atmosférica). Pela conservação de energia (Bernoulli) entre o ponto imediatamente antes do bocal e o jato livre, e supondo ausência de perdas no bocal:
p_{\text{bocal}}=\tfrac{1}{2}\,\rho\,v^2.
Aqui:
  • p_{\text{bocal}} é a pressão manométrica no interior antes do bocal (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m^3),
  • v é a velocidade do jato na saída (m/s).
Isolando v:
v=\sqrt{\frac{2\,p_{\text{bocal}}}{\rho}}.
Agora calcular numericamente:
v=\sqrt{\frac{2\cdot700\,000}{1000}}=\sqrt{1400}\\ \text{m/s}\approx 37{,}42\\ \text{m/s}.

Passo 4

Calcular a vazão volumétrica Q.
Área da seção:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}035)^2}{4}.
Calcular:
D^2=0{,}035^2=0{,}001225, \qquad A=\frac{\pi\cdot0{,}001225}{4}\approx 0{,}0009621\\ \text{m}^2.
A vazão é:
Q=A\,v.
Substituindo:
Q\approx 0{,}0009621\cdot 37{,}42\\ \text{m}^3/\text{s}\approx 0{,}0360\\ \text{m}^3/\text{s}.
Conversões úteis:
0{,}0360\\ \text{m}^3/\text{s}=36{,}0\\ \text{L/s}, \qquad 0{,}0360\\ \text{m}^3/\text{s}\times 60 =2{,}16\\ \text{m}^3/\text{min}=2160\\ \text{L/min}.

Passo 5

Determinar a elevação de pressão que a bomba precisa fornecer (diferença de pressão que a bomba deve gerar).
Raciocínio: a bomba recebe água do hidrante à pressão p_{\text{hid}}. Para que na entrada do bocal reste p_{\text{bocal}} após as perdas ao longo da mangueira, a bomba precisa elevar a pressão de modo a vencer a perda de carga da mangueira e ainda garantir p_{\text{bocal}}. Assim:
\Delta p_{\text{bomba}} = p_{\text{bocal}} - p_{\text{hid}} + \Delta p_{\text{perda}}.
Substituindo os valores (todos em Pa):
\Delta p_{\text{bomba}} = 700\,000 - 350\,000 + 750\,000 = 1\,100\,000\\ \text{Pa} = 1100\\ \text{kPa}.
Explicação intuitiva: a bomba deve “subir” da pressão de sucção 350\\ \text{kPa} até uma pressão antes da perda na mangueira tal que, uma vez perdida \;750\\ \text{kPa}, reste 700\\ \text{kPa} no bocal. Por isso a bomba precisa acrescentar 1100\\ \text{kPa}.

Passo 6

Calcular a potência hidráulica fornecida pela bomba (potência útil hidráulica transmitida à água).
Fórmula:
P_{\text{hidráulica}} = Q\,\Delta p_{\text{bomba}}.á
Aqui:
  • Q em \text{m}^3/\text{s},
  • \Delta p_{\text{bomba}} em Pa,
  • P_{\text{hidráulica}}á em W.
Substituindo:
P_{\text{hidráulica}} = 0{,}0360\cdot 1\,100\,000\\ \text{W}\approx 39\,600\\ \text{W}=39{,}6\\ \text{kW}.á
Interpretação: esta é a potência que necessariamente deve ser entregue ao fluido pela bomba (para vencer perda de carga e fornecer a energia do jato).

Passo 7

Calcular a potência mecânica de entrada (no eixo / motor) necessária, considerando a eficiência da bomba \eta=0{,}70.
Relação:
P_{\text{eixo}}=\frac{P_{\text{hidráulica}}}{\eta}.á
Substituindo:
P_{\text{eixo}}=\frac{39\,600}{0{,}70}\\ \text{W}\approx 56\,571{,}4\\ \text{W}\approx 56{,}6\\ \text{kW}.
Comentário motivador: com essa potência no eixo (aproximadamente 56{,}6\\ \text{kW}), a bomba, com eficiência de 70\%, consegue entregar os 39{,}6\\ \text{kW} hidráulicos necessários ao fluido para manter a vazão projetada.

Resposta

(a) Q=0{,}0360\\ \text{m}^3/\text{s} \;=\;36{,}0\\ \text{L/s}.
(b) v=37{,}42\\ \text{m/s}.
(c) P_{\text{eixo}}=56{,}6\\ \text{kW}.

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