7.1 Num escoamento laminar entre placas paralelas separadas por d= 1,0 \mathrm{~mm}, a diferença de pressão é \Delta p=200 \mathrm{~Pa} ao longo de L=0,5 \mathrm{~m}. Calcule a viscosidade dinâmica \eta, sabendo que a área de escoamento é A=0,02 \mathrm{~m}^{2} e a velocidade média v=0,01 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento laminar estacionário, induzido por pressão, entre duas placas paralelas separadas por \,d=1{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{m}, com queda de pressão \Delta p=200\,\mathrm{Pa} ao longo de L=0{,}5\,\mathrm{m}. A área da seção de escoamento é A=0{,}02\,\mathrm{m}^2 e a velocidade média do fluido é v=0{,}01\,\mathrm{m/s}. Queremos calcular a viscosidade dinâmica \eta. O conteúdo teórico é a lei de Poiseuille para escoamento entre placas paralelas, que relaciona o gradiente de pressão, a geometria do canal e a viscosidade ao fluxo volumétrico.

Passo 2

Chamando Q o fluxo volumétrico, temos pela definição
Q = v\,A.
Por outro lado, para escoamento de Poiseuille entre placas de largura b (no sentido perpendicular ao escoamento) e separação d, a vazão é
Q = \frac{b\,d^3}{12\,\eta}\;\frac{\Delta p}{L}.

Passo 3

Como a área de seção A vale A = b\,d, podemos dividir a expressão de Q por A para obter a velocidade média v:
v = \frac{Q}{A} = \frac{\displaystyle \frac{b\,d^3}{12\,\eta}\;\frac{\Delta p}{L}}{b\,d} = \frac{d^2}{12\,\eta}\;\frac{\Delta p}{L}.

Passo 4

Isolando \eta na expressão de v, chega-se a
\eta = \frac{d^2}{12\,v}\;\frac{\Delta p}{L}.

Passo 5

Substituindo os valores dados:
\eta = \frac{\,(1{,}0\times10^{-3})^2\,}{12\;\times0{,}01}\;\frac{200}{0{,}5} = \frac{1{,}0\times10^{-6}}{0{,}12}\times400 = \frac{4{,}0\times10^{-4}}{0{,}12} \approx3{,}33\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}.

Resposta

A viscosidade dinâmica vale aproximadamente
\eta \approx 3,3\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}.

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