6.1 Em um tubo horizontal, um fluido incompressível tem v_{1}=1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, p_{1}=2 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. A seção 2 está a 0,5 \mathrm{~m} acima e v_{2}=2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule p_{2}.

Passo 1

O enunciado dá um fluido incompressível escoando de uma seção 1 para uma seção 2 num tubo (quase) horizontal, com dados:
\,v_{1}=1{,}5\\ \mathrm{m/s},
\,p_{1}=2\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
– a seção 2 está \,0{,}5\\ \mathrm{m} acima da seção 1,
\,v_{2}=2{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Pede-se \,p_{2}.
O conteúdo aqui é a equação de Bernoulli para fluido incompressível em escoamento estacionário, que relaciona pressão, energia cinética e potencial.

Passo 2

Escrevemos a equação de Bernoulli entre as seções 1 e 2:
\frac{p_{1}}{\rho g} \;+\;\frac{v_{1}^{2}}{2g}\;+\;z_{1} \;=\; \frac{p_{2}}{\rho g} \;+\;\frac{v_{2}^{2}}{2g}\;+\;z_{2},
onde escolhemos z_{1}=0 e z_{2}=0{,}5\\ \mathrm{m}. A densidade da água vale \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Isolando \,p_{2} na equação acima, obtemos
\frac{p_{2}}{\rho g} = \frac{p_{1}}{\rho g} + \frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{2g} + (z_{1}-z_{2}) \quad\Longrightarrow\quad p_{2} = p_{1} + \rho\,\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{2} + \rho\,g\,(z_{1}-z_{2}).

Passo 4

Agora substituímos os valores:
p_{2} = 2\times10^{5} + 1000\cdot\frac{(1{,}5)^{2}-(2{,}0)^{2}}{2} + 1000\cdot9{,}8\cdot(0-0{,}5).
Calculando cada termo:
\frac{(1{,}5)^{2}-(2{,}0)^{2}}{2} =\frac{2{,}25-4}{2}=-0{,}875, \quad 1000\cdot(-0{,}875)=-875,
1000\cdot9{,}8\cdot(-0{,}5)=-4900,
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p_{2} = 200\,000 -875 -4900 =200\,000-5\,775 =194\,225\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

p_{2}\approx1{,}94\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

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