Um escoamento laminar, em regime permanente, ocorre entre uma placa fixa (inferior) e outra móvel, separadas por uma distância
, conforme a ilustração. Os efeitos da gravidade são nulos e o escoamento é completamente desenvolvido (não há variação da velocidade em
). Supondo que a viscosidade
seja conhecida, deseja-se determinar o gradiente de pressão constante em
,
, necessário para que a vazão de líquido que escoa para a esquerda (em valor líquido absoluto), seja igual à que escoa para a direita. Para isso, pede-se:
Reescrever o perfil de velocidade adimensional na forma
, na qual
e
.
Reescrever o perfil de velocidade adimensional na forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre escoamento laminar entre duas placas, uma fixa e outra móvel, separadas por uma distância de
. Queremos encontrar o gradiente de pressão
necessário para que a quantidade de líquido que flui para a esquerda seja igual à que flui para a direita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente perfil de velocidade em escoamento laminar. Precisamos reescrever o perfil de velocidade de forma adimensional, usando
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no escoamento laminar entre duas placas planas, a equação que descreve o perfil de velocidade
é dada por:
Aqui,
é a viscosidade do fluido e
é o gradiente de pressão que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos integrar essa equação uma vez em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Para descobrir
, usamos a condição de que na placa fixa (em
), a velocidade é zero (
):
Passo 4
Agora, integramos novamente para encontrar
:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo
de volta na expressão de
:
Podemos reorganizar:
Passo 6
Agora, vamos deixar a equação em forma adimensional. Definimos:
Substituindo
e
na equação de
:
Simplificando:
Passo 7
Para simplificar ainda mais, vamos definir um número adimensional relacionado ao gradiente de pressão:
Então, a equação fica:
Passo 8
Finalmente, reescrevemos o perfil de velocidade adimensional:
Resposta
O perfil de velocidade adimensional é dado por:
onde
.