Um escoamento laminar, em regime permanente, ocorre entre uma placa fixa (inferior) e outra móvel, separadas por uma distância 2 h, conforme a ilustração. Os efeitos da gravidade são nulos e o escoamento é completamente desenvolvido (não há variação da velocidade em x). Supondo que a viscosidade mu seja conhecida, deseja-se determinar o gradiente de pressão constante em x, dpdx, necessário para que a vazão de líquido que escoa para a esquerda (em valor líquido absoluto), seja igual à que escoa para a direita. Para isso, pede-se:
Reescrever o perfil de velocidade adimensional na forma u^*=u^*(y^*), na qual u^*=u / U e y^*=y / h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre escoamento laminar entre duas placas, uma fixa e outra móvel, separadas por uma distância de 2h. Queremos encontrar o gradiente de pressão dpdx necessário para que a quantidade de líquido que flui para a esquerda seja igual à que flui para a direita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de fluidos, especificamente perfil de velocidade em escoamento laminar. Precisamos reescrever o perfil de velocidade de forma adimensional, usando u^* = uU e y^* = yh.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no escoamento laminar entre duas placas planas, a equação que descreve o perfil de velocidade u(y) é dada por:
d^2 udy^2 = 1mu dpdx
Aqui, mu é a viscosidade do fluido e dpdx é o gradiente de pressão que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos integrar essa equação uma vez em relação a y:
dudy = 1mu dpdx y + C1
Onde C1 é a constante de integração. Para descobrir C1, usamos a condição de que na placa fixa (em y = -h), a velocidade é zero ( u = 0):
0 = 1mu dpdx (-h) + C1 implies C1 = -hmu dpdx

Passo 4

Agora, integramos novamente para encontrar u(y):
u(y) = 12mu dpdx y^2 - hmu dpdx y + C2
C2 é outra constante de integração. Usamos a condição na placa móvel (em y = h), onde a velocidade é U:
U = 12mu dpdx h^2 - hmu dpdx h + C2
Simplificando:
U = -12mu dpdx h^2 + C2 implies C2 = U + 12mu dpdx h^2

Passo 5

Substituindo C2 de volta na expressão de u(y):
u(y) = 12mu dpdx y^2 - hmu dpdx y + U + 12mu dpdx h^2
Podemos reorganizar:
u(y) = 12mu dpdx (y^2 - 2hy + h^2) + U = 12mu dpdx (y - h)^2 + U

Passo 6

Agora, vamos deixar a equação em forma adimensional. Definimos:
u^* = uU e y^* = yh
Substituindo y = y^* h e u = u^* U na equação de u(y):
u^* U = 12mu dpdx (y^* h - h)^2 + U
Simplificando:
u^* = h^22mu U dpdx (y^* - 1)^2 + 1

Passo 7

Para simplificar ainda mais, vamos definir um número adimensional relacionado ao gradiente de pressão:
K = h^22mu U dpdx
Então, a equação fica:
u^* = K (y^* - 1)^2 + 1

Passo 8

Finalmente, reescrevemos o perfil de velocidade adimensional:
u^* = u^*(y^*) = K (y^* - 1)^2 + 1

Resposta

O perfil de velocidade adimensional é dado por:
u^* = K (y^* - 1)^2 + 1
onde K = h^22mu U dpdx.

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