Um escoamento laminar, em regime permanente, ocorre entre uma placa fixa (inferior) e outra móvel, separadas por uma distância 2 h, conforme a ilustração. Os efeitos da gravidade são nulos e o escoamento é completamente desenvolvido (não há variação da velocidade em x). Supondo que a viscosidade mu seja conhecida, deseja-se determinar o gradiente de pressão constante em x, dpdx, necessário para que a vazão de líquido que escoa para a esquerda (em valor líquido absoluto), seja igual à que escoa para a direita. Para isso, pede-se:
Determinar o perfil de velocidade na região -h <= y <= h em função de U, dp/dx e do restante dos parâmetros, aplicando as condições de contorno adequadas de velocidade nas paredes e na interface;

Passo 1

Então, vamos resumir o que a gente tem aqui: estamos lidando com um escoamento laminar entre duas placas, uma fixa e outra que está se movendo. A distância entre elas é de 2h. A gente quer encontrar o perfil de velocidade do líquido nessa região, considerando que a viscosidade mu é conhecida e que o gradiente de pressão dpdx é constante. Basicamente, queremos saber qual deve ser esse gradiente de pressão para que a quantidade de líquido que passa para a esquerda seja igual à que passa para a direita. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente sobre escoamento laminar entre placas paralelas, onde aplicamos equações de Navier-Stokes simplificadas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as equações de movimento para um escoamento laminar totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas. Como não há variação da velocidade em x (escoamento desenvolvido) e os efeitos da gravidade são nulos, a equação de Navier-Stokes simplificada para a direção x fica:
mu d^2 udy^2 = dpdx
Aqui, u(y) é a velocidade do fluido em função da posição y perpendicular às placas.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é:
d^2 udy^2 = 1mu dpdx
Integrando uma vez em relação a y, temos:
dudy = 1mu dpdx y + C1
E integrando novamente:
u(y) = 12mu dpdx y^2 + C1 y + C2

Passo 4

Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para determinar as constantes C1 e C2. As condições de contorno são:
  1. Na placa fixa (em y = -h): u(-h) = 0
  2. Na placa móvel (em y = h): u(h) = U
Aplicando a primeira condição:
0 = 12mu dpdx (-h)^2 + C1 (-h) + C2
0 = h^22mu dpdx - h C1 + C2
Aplicando a segunda condição:
U = 12mu dpdx h^2 + C1 h + C2

Passo 5

Para encontrar C1 e C2, vamos resolver o sistema de equações:
h^22mu dpdx - h C1 + C2 = 0 h^22mu dpdx + h C1 + C2 = U
Subtraindo a primeira equação da segunda:
2 h C1 = U
C1 = U2h
Agora, substituindo C1 na primeira equação:
h^22mu dpdx - h (U2h) + C2 = 0
h^22mu dpdx - U2 + C2 = 0
C2 = -h^22mu dpdx + U2

Passo 6

Agora que temos C1 e C2, podemos escrever a expressão completa para o perfil de velocidade u(y):
u(y) = 12mu dpdx y^2 + U2h y - h^22mu dpdx + U2
Vamos simplificar isso agrupando os termos:
u(y) = 12mu dpdx (y^2 - h^2) + U2h (y + h)

Passo 7

O próximo passo é determinar o gradiente de pressão dpdx que faz com que a vazão líquida seja zero, ou seja, a vazão para a esquerda igual à vazão para a direita. Para isso, vamos calcular a vazão Q através da integração da velocidade sobre a área:
Q = integral-h^h u(y) , dy
Substituindo a expressão de u(y):
Q = integral-h^h [ 12mu dpdx (y^2 - h^2) + U2h (y + h) ] dy

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
Q = 12mu dpdx integral-h^h (y^2 - h^2) , dy + U2h integral-h^h (y + h) , dy
Calculando as integrais:
integral-h^h y^2 , dy = [ y^33 ]-h^h = h^33 - (-h^33) = 2h^33
integral-h^h h^2 , dy = h^2 (h - (-h)) = 2h^3
integral-h^h y , dy = [ y^22 ]-h^h = h^22 - h^22 = 0
integral-h^h h , dy = h cdot 2h = 2h^2
Substituindo:
Q = 12mu dpdx ( 2h^33 - 2h^3 ) + U2h (0 + 2h^2)
Q = 12mu dpdx ( -4h^33 ) + U2h cdot 2h^2
Q = -2h^33mu dpdx + U h

Passo 9

Para que a vazão líquida seja zero, a vazão induzida pelo gradiente de pressão deve cancelar a causada pela placa móvel. Portanto:
-2h^33mu dpdx + U h = 0
Resolvendo para dpdx:
2h^33mu dpdx = U h
dpdx = 3mu U2h^2

Resposta

O gradiente de pressão constante necessário é:
dpdx = 3 mu U2 h^2

Exercícios relacionados