Um escoamento laminar, em regime permanente, ocorre entre uma placa fixa (inferior) e outra móvel, separadas por uma distância
, conforme a ilustração. Os efeitos da gravidade são nulos e o escoamento é completamente desenvolvido (não há variação da velocidade em
). Supondo que a viscosidade
seja conhecida, deseja-se determinar o gradiente de pressão constante em
,
, necessário para que a vazão de líquido que escoa para a esquerda (em valor líquido absoluto), seja igual à que escoa para a direita. Para isso, pede-se:
Determinar o perfil de velocidade na região
em função de
,
e do restante dos parâmetros, aplicando as condições de contorno adequadas de velocidade nas paredes e na interface;
Determinar o perfil de velocidade na região
Passo 1
Então, vamos resumir o que a gente tem aqui: estamos lidando com um escoamento laminar entre duas placas, uma fixa e outra que está se movendo. A distância entre elas é de
. A gente quer encontrar o perfil de velocidade do líquido nessa região, considerando que a viscosidade
é conhecida e que o gradiente de pressão
é constante. Basicamente, queremos saber qual deve ser esse gradiente de pressão para que a quantidade de líquido que passa para a esquerda seja igual à que passa para a direita. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente sobre escoamento laminar entre placas paralelas, onde aplicamos equações de Navier-Stokes simplificadas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as equações de movimento para um escoamento laminar totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas. Como não há variação da velocidade em
(escoamento desenvolvido) e os efeitos da gravidade são nulos, a equação de Navier-Stokes simplificada para a direção
fica:
Aqui,
é a velocidade do fluido em função da posição
perpendicular às placas.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é:
Integrando uma vez em relação a
, temos:
E integrando novamente:
Passo 4
Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para determinar as constantes
e
. As condições de contorno são:
- Na placa fixa (em
): - Na placa móvel (em
):
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição:
Passo 5
Para encontrar
e
, vamos resolver o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos escrever a expressão completa para o perfil de velocidade
:
Vamos simplificar isso agrupando os termos:
Passo 7
O próximo passo é determinar o gradiente de pressão
que faz com que a vazão líquida seja zero, ou seja, a vazão para a esquerda igual à vazão para a direita. Para isso, vamos calcular a vazão
através da integração da velocidade sobre a área:
Substituindo a expressão de
:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo:
Passo 9
Para que a vazão líquida seja zero, a vazão induzida pelo gradiente de pressão deve cancelar a causada pela placa móvel. Portanto:
Resolvendo para
:
Resposta
O gradiente de pressão constante necessário é: