Para um escoamento não viscoso, o tensor de tensões taui j é nulo. Qual é a implicação disso na equação de Navier-Stokes?

Passo 1

O enunciado fala de um escoamento não viscoso, ou seja, tauij=0. O conteúdo aqui é Mecânica dos Fluidos, mais precisamente a equação de Navier–Stokes (conservação de momento) e sua redução quando não há tensões viscosas. Vamos usar a forma geral da equação de momento (Cauchy) e a decomposição do tensor de tensões em parte hidrostática ( -pde<aij) e parte viscosa ( tauij).

Passo 2

Escrevemos a equação de conservação de momento para um fluido genérico (forma de Cauchy):
rhol(partial vipartial t + vj partial vipartial xjr) = partial sigmaijpartial xj + rho fi,
onde rho é a densidade, vi os componentes da velocidade, fi forças de corpo por unidade de massa e sigmaij o tensor de tensões.

Passo 3

Decompomos o tensor de tensões em
sigmaij = -p,de<aij + tauij,
sendo p a pressão e tauij o tensor de tensões viscosas. Logo,
partial sigmaijpartial xj = -partial ppartial xi + partial tauijpartial xj

Passo 4

Para escoamento não viscoso temos tauij=0, logo
partial tauijpartial xj=0 e sigmaij=-p,de<aij
Isso elimina todo o termo viscoso da equação de momento.

Passo 5

Substituindo em Cauchy obtemos a equação de Euler (Navier–Stokes sem viscosidade):
rhol(partial vipartial t + vj partial vipartial xjr) = -partial ppartial xi + rho fi

Resposta

A equação de Navier–Stokes reduz-se à equação de Euler, isto é, desaparece o termo viscoso partialjtauij e fica
rhol(partialt vi + vjpartialj vir) = -partiali p + rho fi

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