Para um escoamento no plano x y, a componente x da velocidade é dada por u=A x(y-B), onde A=3 m^-1 s^-1, B=2 m, e x e y são medidos em metros. Encontre uma possível componente y para escoamento permanente e incompressível. Ela também é valida para escoamento incompressível transiente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que estamos lidando com um escoamento no plano xy, onde a componente x da velocidade é dada por u = A x(y - B). Temos que encontrar a componente y da velocidade ( v) para um escoamento que seja permanente (ou estacionário) e incompressível. Além disso, precisamos verificar se essa componente y também é válida para um escoamento incompressível transiente e descobrir quantas possibilidades existem para v.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar os conceitos de escoamento incompressível e as equações de continuidade que garantem a conservação de massa no escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento incompressível. Em um escoamento incompressível, a densidade do fluido permanece constante. Isso implica que a divergência do campo de velocidade é zero. Em termos matemáticos, a condição de incompressibilidade é dada por:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Onde:
  • u é a componente da velocidade na direção x,
  • v é a componente da velocidade na direção y.

Passo 3

Como o escoamento é permanente, ou seja, não depende do tempo, podemos aplicar diretamente a condição de incompressibilidade mencionada acima. Vamos calcular as derivadas parciais de u em relação a x e de v em relação a y.
Sabemos que:
u = A x(y - B)
Vamos calcular partial upartial x:
partial upartial x = partialpartial x [A x(y - B)] = A(y - B)

Passo 4

Agora, aplicamos a condição de incompressibilidade:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Substituindo partial upartial x:
A(y - B) + partial vpartial y = 0
Podemos rearranjar para encontrar partial vpartial y:
partial vpartial y = -A(y - B)

Passo 5

Para encontrar v, precisamos integrar partial vpartial y em relação a y:
v = integral partial vpartial y , dy = integral -A(y - B) , dy
Vamos calcular a integral:
v = -A integral (y - B) , dy = -A ( y^22 - B y ) + C(x)
Onde C(x) é a constante de integração, que pode depender de x.

Passo 6

Então, a expressão geral para v é:
v = -A2 y^2 + A B y + C(x)
Agora, precisamos determinar a função C(x). Para isso, consideramos se o escoamento é permanente ou transiente.

Passo 7

Como estamos tratando de um escoamento permanente, a velocidade não depende do tempo, e assim, C(x) pode ser uma função arbitrária. Porém, para simplificar e sem informações adicionais, podemos assumir que C(x) é constante ou zero. Portanto, uma forma possível para v é:
v = -A2 y^2 + A B y

Passo 8

Então, substituindo os valores de A e B:
A = 3 m^-1 s^-1, B = 2 m
v = -32 y^2 + 3 cdot 2 cdot y = -32 y^2 + 6 y

Passo 9

Agora, vamos responder às outras partes da questão:
  • É válida para escoamento incompressível transiente?
Não necessariamente. Em um escoamento transiente, a velocidade pode depender do tempo, e a função C(x) poderia incluir termos que variam com o tempo. A solução que encontramos assume um escoamento permanente, onde C(x) é constante. Portanto, a expressão para v não é automaticamente válida para escoamentos transientes.
  • Quantas são as possíveis componentes v?
A função C(x) pode ser qualquer função de x, o que significa que há infinitas possíveis componentes v, dependendo da forma escolhida para C(x). No entanto, sem informações adicionais ou condições de contorno, não podemos determinar uma forma única para v.

Resposta

A componente y da velocidade para um escoamento permanente e incompressível é dada por:
v = -32 y^2 + 6 y
Essa expressão não é necessariamente válida para escoamentos incompressíveis transientes, pois assume um escoamento permanente onde C(x) é constante. Além disso, existem infinitas possíveis componentes v, dependendo da escolha da função C(x).

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