Para um escoamento no plano
, a componente
da velocidade é dada por
, onde
, e
e y são medidos em metros. Encontre uma possível componente
para escoamento permanente e incompressível. Ela também é valida para escoamento incompressível transiente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que estamos lidando com um escoamento no plano
, onde a componente
da velocidade é dada por
. Temos que encontrar a componente
da velocidade (
) para um escoamento que seja permanente (ou estacionário) e incompressível. Além disso, precisamos verificar se essa componente
também é válida para um escoamento incompressível transiente e descobrir quantas possibilidades existem para
.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar os conceitos de escoamento incompressível e as equações de continuidade que garantem a conservação de massa no escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento incompressível. Em um escoamento incompressível, a densidade do fluido permanece constante. Isso implica que a divergência do campo de velocidade é zero. Em termos matemáticos, a condição de incompressibilidade é dada por:
Onde:
-
é a componente da velocidade na direção , -
é a componente da velocidade na direção .
Passo 3
Como o escoamento é permanente, ou seja, não depende do tempo, podemos aplicar diretamente a condição de incompressibilidade mencionada acima. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Sabemos que:
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição de incompressibilidade:
Substituindo
:
Podemos rearranjar para encontrar
:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
:
Vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração, que pode depender de
.
Passo 6
Então, a expressão geral para
é:
Agora, precisamos determinar a função
. Para isso, consideramos se o escoamento é permanente ou transiente.
Passo 7
Como estamos tratando de um escoamento permanente, a velocidade não depende do tempo, e assim,
pode ser uma função arbitrária. Porém, para simplificar e sem informações adicionais, podemos assumir que
é constante ou zero. Portanto, uma forma possível para
é:
Passo 8
Então, substituindo os valores de
e
:
Passo 9
Agora, vamos responder às outras partes da questão:
- É válida para escoamento incompressível transiente?
Não necessariamente. Em um escoamento transiente, a velocidade pode depender do tempo, e a função
poderia incluir termos que variam com o tempo. A solução que encontramos assume um escoamento permanente, onde
é constante. Portanto, a expressão para
não é automaticamente válida para escoamentos transientes.
- Quantas são as possíveis componentes
?
A função
pode ser qualquer função de
, o que significa que há infinitas possíveis componentes
, dependendo da forma escolhida para
. No entanto, sem informações adicionais ou condições de contorno, não podemos determinar uma forma única para
.
Resposta
A componente
da velocidade para um escoamento permanente e incompressível é dada por:
Essa expressão não é necessariamente válida para escoamentos incompressíveis transientes, pois assume um escoamento permanente onde
é constante. Além disso, existem infinitas possíveis componentes
, dependendo da escolha da função
.