5.6 Para um escoamento no plano
, a componente
da velocidade é dada por
. Encontre uma possível componente
para escoamento permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamento incompressível não-permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes
?
Passo 1
O enunciado dá a componente
da velocidade no plano
:
As perguntas do enunciado são:
- Encontre uma possível componente
(isto é, a componente ) para escoamento permanente e incompressível. - Essa componente também é válida para escoamento incompressível não-permanente? Por quê?
- Quantas são as possíveis componentes (isto é, quantas possíveis funções
satisfazem a condição)?
Passo 2
Relembrando a condição matemática que vamos usar (explicação didática): “incompressível” significa que o campo velocidade tem divergência nula. Em coordenadas cartesianas no plano
isso é
Aqui
é a componente
da velocidade e
é a componente
. Para escoamento permanente (steady) não há dependência temporal, então as derivadas temporais não aparecem na equação de continuidade — a equação de divergência permanece a mesma instante a instante.
Passo 3
Vamos calcular
a partir da expressão fornecida (aqui estou usando explicitamente o
que o enunciado deu):
Expliquei: derivar em relação a
trata
como constante; a derivada de
é
, de
é
e de
é
.
Passo 4
Substituindo
na equação de incompressibilidade:
logo
Isto significa que, para cada
fixo, a derivada de
em relação a
é
, que é independente de
.
Passo 5
Integramos em relação a
para obter
. Ao integrar
em
obtemos uma função de
mais uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao derivar em
uma função que só depende de
dá zero):
Posso reescrever de forma mais compacta:
Aqui
é qualquer função arbitrária de
(não depende de
se estamos no caso permanente). Em provas, lembre-se: ao integrar em relação a uma variável, a “constante” de integração pode ser função das outras variáveis.
Passo 6
Resposta à parte sobre escoamento não-permanente (didática): a equação de continuidade para fluido incompressível tem a mesma forma no caso não-permanente — a divergência do campo velocidade é nula em cada instante:
vale para todo
. Se
fornecido não depende do tempo (como aqui), então
é independente de
e a igualdade exige
em todo instante. Assim a integração em
produz uma “constante” que agora pode depender de
e de
, isto é:
Portanto: a forma encontrada para o caso permanente é válida como um caso particular do não-permanente (tomando
, sem dependência temporal). Em outras palavras, sim — a estrutura da solução permanece, mas no caso não-permanente a liberdade extra é permitir
dependente de
.
Passo 7
Quantas soluções existem? Explicação didática: qualquer função
(no caso permanente) adicionada a
não altera
, porque
. Logo há infinitas possíveis componentes
: uma família infinita de soluções parametrizadas por uma função arbitrária
. Para o caso não-permanente, a família é ainda maior:
, função arbitrária de
e
. Exemplos simples:
- escolha
obtém , - escolha
obtém , - no caso não-permanente escolha
, etc.
Passo 8
Observação física prática: na prática uma condição de contorno (ex.: velocidade prescrita numa parede, condição de não-deslizamento) determina
e assim fixa uma única solução entre as infinitas. Em ausência de condições adicionais, só podemos determinar
até essa função arbitrária de
(ou de
e
no caso não-permanente).
Resposta
Sim. Para escoamento incompressível não-permanente a forma geral é
, porque a equação de continuidade
vale instante a instante.
Infinitas: existe uma família infinita de componentes
, parametrizada por uma função arbitrária
(ou
no caso não-permanente).