5.6 Para um escoamento no plano x y, a componente y da velocidade é dada por v=y^{2}-2 x+2 y. Encontre uma possível componente x para escoamento permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamento incompressível não-permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y ?

Passo 1

O enunciado dá a componente y da velocidade no plano x y:
v = y^{2} - 2x + 2y.
As perguntas do enunciado são:
  • Encontre uma possível componente x (isto é, a componente u(x,y)) para escoamento permanente e incompressível.
  • Essa componente também é válida para escoamento incompressível não-permanente? Por quê?
  • Quantas são as possíveis componentes (isto é, quantas possíveis funções u(x,y) satisfazem a condição)?

Passo 2

Relembrando a condição matemática que vamos usar (explicação didática): “incompressível” significa que o campo velocidade tem divergência nula. Em coordenadas cartesianas no plano x y isso é
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
Aqui u(x,y,t) é a componente x da velocidade e v(x,y,t) é a componente y. Para escoamento permanente (steady) não há dependência temporal, então as derivadas temporais não aparecem na equação de continuidade — a equação de divergência permanece a mesma instante a instante.

Passo 3

Vamos calcular \partial v/\partial y a partir da expressão fornecida (aqui estou usando explicitamente o v que o enunciado deu):
v = y^{2} - 2x + 2y \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2y + 2.
Expliquei: derivar em relação a y trata x como constante; a derivada de y^{2} é 2y, de -2x é 0 e de 2y é 2.

Passo 4

Substituindo \partial v/\partial y na equação de incompressibilidade:
\frac{\partial u}{\partial x} + (2y+2)=0,
logo
\frac{\partial u}{\partial x} = -2y - 2.
Isto significa que, para cada y fixo, a derivada de u em relação a x é -2y-2, que é independente de x.

Passo 5

Integramos em relação a x para obter u. Ao integrar \partial u/\partial x em x obtemos uma função de x mais uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao derivar em x uma função que só depende de y dá zero):
u(x,y) = \int (-2y-2)\,dx = (-2y-2)\,x + C(y).
Posso reescrever de forma mais compacta:
u(x,y) = -2x(y+1) + C(y).
Aqui C(y) é qualquer função arbitrária de y (não depende de x se estamos no caso permanente). Em provas, lembre-se: ao integrar em relação a uma variável, a “constante” de integração pode ser função das outras variáveis.

Passo 6

Resposta à parte sobre escoamento não-permanente (didática): a equação de continuidade para fluido incompressível tem a mesma forma no caso não-permanente — a divergência do campo velocidade é nula em cada instante:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0
vale para todo t. Se v fornecido não depende do tempo (como aqui), então \partial v/\partial y é independente de t e a igualdade exige
\frac{\partial u}{\partial x} = -2y-2
em todo instante. Assim a integração em x produz uma “constante” que agora pode depender de t e de y, isto é:
u(x,y,t) = -2x(y+1) + C(y,t).
Portanto: a forma encontrada para o caso permanente é válida como um caso particular do não-permanente (tomando C(y,t)=C(y), sem dependência temporal). Em outras palavras, sim — a estrutura da solução permanece, mas no caso não-permanente a liberdade extra é permitir C dependente de t.

Passo 7

Quantas soluções existem? Explicação didática: qualquer função C(y) (no caso permanente) adicionada a -2x(y+1) não altera \partial u/\partial x, porque \partial C(y)/\partial x=0. Logo há infinitas possíveis componentes u: uma família infinita de soluções parametrizadas por uma função arbitrária C(y). Para o caso não-permanente, a família é ainda maior: C(y,t), função arbitrária de y e t. Exemplos simples:
  • escolha C(y)=0 obtém u=-2x(y+1),
  • escolha C(y)=\sin y obtém u=-2x(y+1)+\sin y,
  • no caso não-permanente escolha C(y,t)=\mathrm{e}^{-t}\,y, etc.

Passo 8

Observação física prática: na prática uma condição de contorno (ex.: velocidade prescrita numa parede, condição de não-deslizamento) determina C(y) e assim fixa uma única solução entre as infinitas. Em ausência de condições adicionais, só podemos determinar u até essa função arbitrária de y (ou de y e t no caso não-permanente).

Resposta

u(x,y) = -2x(y+1) + C(y)
Sim. Para escoamento incompressível não-permanente a forma geral é u(x,y,t)= -2x(y+1) + C(y,t), porque a equação de continuidade \partial u/\partial x+\partial v/\partial y=0 vale instante a instante.
Infinitas: existe uma família infinita de componentes u, parametrizada por uma função arbitrária C(y) (ou C(y,t) no caso não-permanente).

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