A highway made of asphalt is initially at a uniform temperature of 55^{\circ} \mathrm{C}. Suddenly the highway surface temperature is reduced to 25^{\circ} \mathrm{C} by rain. Determine the temperature at the depth of 3 cm from the highway surface and the heat flux transferred from the highway after 60 min . Assume the highway surface temperature is maintained at 25^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pedido 1: determinar a temperatura no interior do pavimento (asfalto) a uma profundidade de 3\\ \text{cm} após 60\\ \text{min}.
  • Pedido 2: determinar o fluxo de calor (densidade de fluxo) transferido do pavimento depois de 60\\ \text{min}.
Dados do enunciado (peguei estes valores do enunciado / imagem):
  • Temperatura inicial uniforme do asfalto: \,T_i = 55^\circ\text{C}.
  • Temperatura da superfície após a chuva (mantida): \,T_s = 25^\circ\text{C}.
  • Profundidade onde se quer a temperatura: \,x = 3\\ \text{cm} = 0{,}03\\ \text{m}.
  • Tempo transcorrido: \,t = 60\\ \text{min} = 3600\\ \text{s}.
Observação: o enunciado não fornece propriedades térmicas do asfalto. Vou assumir propriedades típicas de asfalto (ver Passo 4) e explicarei e justificarei essa escolha. A solução usa a aproximação de semi-infinito (veja justificativa adiante).

Passo 2

Escolha do método e justificativa (passo-a-passo):
  • O problema descreve uma redução súbita da temperatura na superfície, mantida posteriormente em um novo valor constante. Isso é classicamente tratado como condução transiente unidimensional em um sólido semi-infinito com temperatura superficial mantida constante.
  • A aproximação de semi-infinito é válida quando a zona afetada pelo calor (profundidade de penetração térmica) é pequena em comparação com as dimensões reais do corpo. Vamos checar essa hipótese depois dos cálculos numéricos.
  • Método a ser usado: solução analítica conhecida para um semi-espaço semi-infinito com superfície mantida em temperatura constante.

Passo 3

Fórmulas fundamentais e sua explicação (aula compacta):
  • A equação de calor (1D) é
\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2},
onde \,T(x,t) é a temperatura, \,t o tempo, \,x a coordenada normal à superfície e \,\alpha a difusividade térmica do material (unidade \text{m}^2/\text{s}) definida por
\alpha = \frac{k}{\rho c_p},
com k condutividade térmica ( \text{W}/\text{m}\cdot\text{K}), \rho densidade ( \text{kg}/\text{m}^3) e c_p capacidade calorífica ( \text{J}/\text{kg}\cdot\text{K}).
  • Para um semi-espaço inicialmente a T_i e com a superfície x=0 mantida em T_s para t>0, a solução analítica é (forma com a função erro complementar):
T(x,t) = T_i + (T_s - T_i)\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right),
onde \operatorname{erfc}(z) é a função erro complementar. Observações sobre essa fórmula:
  • Em x=0, \operatorname{erfc}(0)=1 e T(0,t)=T_s (condição de contorno satisfeita).
  • Quando x\to\infty, \operatorname{erfc}\to 0 e T\to T_i.
  • O fluxo de calor na superfície (densidade de fluxo, positiva para calor saindo do interior em direção à superfície) é dado por:
q''(x=0,t) = -k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0} = \frac{k\,(T_i - T_s)}{\sqrt{\pi \alpha t}}.
Explicação rápida: a expressão resulta da derivação da solução com erfc; a magnitude cresce com (T_i-T_s) e decresce com \sqrt{t} (fluxo cai com o tempo à medida que a superfície arrefece).

Passo 4

Assunções de propriedades do asfalto e cálculo da difusividade:
  • Como o enunciado não fornece k,\rho,c_p, usa-se valores típicos de asfalto rodoviário:
    • k = 0{,}75\\ \text{W}/\text{m}\cdot\text{K} (condutividade térmica),
    • \rho = 2300\\ \text{kg}/\text{m}^3 (densidade aproximada do agregado/ligante),
    • c_p = 900\\ \text{J}/\text{kg}\cdot\text{K} (capacidade calorífica).
  • Cálculo da difusividade térmica:
\alpha = \frac{k}{\rho c_p} = \frac{0{,}75}{2300\cdot900} = \frac{0{,}75}{2{,}070\times10^{6}} \approx 3{,}623\times10^{-7}\\ \text{m}^2/\text{s}.

Passo 5

Cálculo numérico da temperatura em x=0{,}03\\ \text{m} e t=3600\\ \text{s}:
  • Primeiro calcule o parâmetro adimensional dentro da erfc:
\eta = \frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}.
  • Calcule \sqrt{\alpha t}:
\alpha t = 3{,}623\times10^{-7}\cdot3600 \approx 1{,}3043\times10^{-3}\\ \text{m}^2,
\sqrt{\alpha t}\approx 0{,}03614\\ \text{m}.
  • Então
2\sqrt{\alpha t}\approx 0{,}07228\\ \text{m}, \qquad \eta = \frac{0{,}03}{0{,}07228} \approx 0{,}4149.
  • Agora precisamos de \operatorname{erfc}(\eta). Usando tabela/funcionário de \operatorname{erf} e \operatorname{erfc} (ou calculadora científica), tem-se aproximadamente
\operatorname{erf}(0{,}4149)\approx 0{,}4423 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{erfc}(0{,}4149)=1-\operatorname{erf}(0{,}4149)\approx 0{,}5577.
  • Substituindo na solução:
T(x,t) = T_i + (T_s - T_i)\operatorname{erfc}(\eta) = 55 + (25-55)\cdot 0{,}5577.
  • Calcule:
T(0{,}03,3600) = 55 - 30\cdot 0{,}5577 \approx 55 -16{,}73 \approx 38{,}27^\circ\text{C}.
Arredondando, \,T\approx 38{,}3^\circ\text{C}.
Observação pedagógica: se preferir a forma com \operatorname{erf},
T = T_s + (T_i-T_s)\operatorname{erf}(\eta) = 25 + 30\cdot 0{,}4423 \approx 38{,}27^\circ\text{C},
mesmo resultado.

Passo 6

Cálculo do fluxo de calor na superfície (valor e sentido):
  • Use a fórmula
q''(0,t) = \frac{k\,(T_i - T_s)}{\sqrt{\pi \alpha t}}.
  • Substituindo valores:
\pi \alpha t = \pi\cdot 1{,}3043\times10^{-3} \approx 4{,}098\times10^{-3},
\sqrt{\pi \alpha t}\approx 0{,}06403\\ \text{m}.
q''(0,3600) = \frac{0{,}75\cdot(55-25)}{0{,}06403} = \frac{0{,}75\cdot30}{0{,}06403} = \frac{22{,}5}{0{,}06403}\approx 351{,}4\\ \text{W}/\text{m}^2.
  • Interpretação do sinal: aqui foi calculada a magnitude positiva correspondente ao fluxo de calor que sai do interior do pavimento em direção à superfície (do asfalto para a chuva/ambiente). Se se usar a convenção de fluxo positivo para a superfície entrando no sólido, então o valor seria -351{,}4\\ \text{W}/\text{m}^2. Em palavras: cerca de 351\\ \text{W}/\text{m}^2 estão sendo extraídos do asfalto naquele instante.

Passo 7

Verificação da validade da aproximação de semi-infinito:
  • A profundidade característica de penetração é da ordem de \sqrt{\alpha t}\approx 0{,}036\\ \text{m} (3,6 cm). A profundidade considerada ( 3\\ \text{cm}) é comparável a essa penetração, o que indica que o comportamento transiente está presente e que a aproximação de semi-infinito é razoável para a estimativa (se o pavimento fosse muito fino comparado a essa profundidade, a aproximação falharia). Portanto o método é aceitável para este problema e as ordens de grandeza estão coerentes.

Resposta

Temperatura em x=3\\ \text{cm} após 60\\ \text{min}: 38{,}3^\circ\text{C}
Fluxo de calor na superfície após 60\\ \text{min} (do asfalto para a superfície): 351\\ \text{W}/\text{m}^2

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