A highway made of asphalt is initially at a uniform temperature of 55^{\circ} \mathrm{C}. Suddenly the highway surface temperature is reduced to 25^{\circ} \mathrm{C} by rain. Determine the temperature at the depth of 3 cm from the highway surface and the heat flux transferred from the highway after 60 min . Assume the highway surface temperature is maintained at 25^{\circ} \mathrm{C}
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
Pedido 1: determinar a temperatura no interior do pavimento (asfalto) a uma profundidade de 3\\ \text{cm} após 60\\ \text{min}.
Pedido 2: determinar o fluxo de calor (densidade de fluxo) transferido do pavimento depois de 60\\ \text{min}.
Dados do enunciado (peguei estes valores do enunciado / imagem):
Temperatura inicial uniforme do asfalto: \,T_i = 55^\circ\text{C}.
Temperatura da superfície após a chuva (mantida): \,T_s = 25^\circ\text{C}.
Profundidade onde se quer a temperatura: \,x = 3\\ \text{cm} = 0{,}03\\ \text{m}.
Tempo transcorrido: \,t = 60\\ \text{min} = 3600\\ \text{s}.
Observação: o enunciado não fornece propriedades térmicas do asfalto. Vou assumir propriedades típicas de asfalto (ver Passo 4) e explicarei e justificarei essa escolha. A solução usa a aproximação de semi-infinito (veja justificativa adiante).
Passo 2
Escolha do método e justificativa (passo-a-passo):
O problema descreve uma redução súbita da temperatura na superfície, mantida posteriormente em um novo valor constante. Isso é classicamente tratado como condução transiente unidimensional em um sólido semi-infinito com temperatura superficial mantida constante.
A aproximação de semi-infinito é válida quando a zona afetada pelo calor (profundidade de penetração térmica) é pequena em comparação com as dimensões reais do corpo. Vamos checar essa hipótese depois dos cálculos numéricos.
Método a ser usado: solução analítica conhecida para um semi-espaço semi-infinito com superfície mantida em temperatura constante.
Passo 3
Fórmulas fundamentais e sua explicação (aula compacta):
onde \,T(x,t) é a temperatura, \,t o tempo, \,x a coordenada normal à superfície e \,\alpha a difusividade térmica do material (unidade \text{m}^2/\text{s}) definida por
\alpha = \frac{k}{\rho c_p},
com k condutividade térmica (\text{W}/\text{m}\cdot\text{K}), \rho densidade (\text{kg}/\text{m}^3) e c_p capacidade calorífica (\text{J}/\text{kg}\cdot\text{K}).
Para um semi-espaço inicialmente a T_i e com a superfície x=0 mantida em T_s para t>0, a solução analítica é (forma com a função erro complementar):
Explicação rápida: a expressão resulta da derivação da solução com erfc; a magnitude cresce com (T_i-T_s) e decresce com \sqrt{t} (fluxo cai com o tempo à medida que a superfície arrefece).
Passo 4
Assunções de propriedades do asfalto e cálculo da difusividade:
Como o enunciado não fornece k,\rho,c_p, usa-se valores típicos de asfalto rodoviário:
k = 0{,}75\\ \text{W}/\text{m}\cdot\text{K} (condutividade térmica),
\rho = 2300\\ \text{kg}/\text{m}^3 (densidade aproximada do agregado/ligante),
Agora precisamos de \operatorname{erfc}(\eta). Usando tabela/funcionário de \operatorname{erf} e \operatorname{erfc} (ou calculadora científica), tem-se aproximadamente
Interpretação do sinal: aqui foi calculada a magnitude positiva correspondente ao fluxo de calor que sai do interior do pavimento em direção à superfície (do asfalto para a chuva/ambiente). Se se usar a convenção de fluxo positivo para a superfície entrando no sólido, então o valor seria -351{,}4\\ \text{W}/\text{m}^2. Em palavras: cerca de 351\\ \text{W}/\text{m}^2 estão sendo extraídos do asfalto naquele instante.
Passo 7
Verificação da validade da aproximação de semi-infinito:
A profundidade característica de penetração é da ordem de \sqrt{\alpha t}\approx 0{,}036\\ \text{m} (3,6 cm). A profundidade considerada (3\\ \text{cm}) é comparável a essa penetração, o que indica que o comportamento transiente está presente e que a aproximação de semi-infinito é razoável para a estimativa (se o pavimento fosse muito fino comparado a essa profundidade, a aproximação falharia). Portanto o método é aceitável para este problema e as ordens de grandeza estão coerentes.
Resposta
Temperatura em x=3\\ \text{cm} após 60\\ \text{min}: 38{,}3^\circ\text{C}
Fluxo de calor na superfície após 60\\ \text{min} (do asfalto para a superfície): 351\\ \text{W}/\text{m}^2