The soil temperature in the upper layers of the earth varies with the variations in the atmospheric conditions. Before a cold front moves in, the earth at a location is initially at a uniform temperature of 15^{\circ} \mathrm{C}. Then the area is subjected to a temperature of -8^{\circ} \mathrm{C} and high winds that result in convection heat transfer coefficient of 40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}_{2} \cdot \mathrm{~K} on the earths surface for a period of 10 h . Taking the properties of the soil at that location to be k=0.9 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} and \alpha=1.6 \times 10_{-5} \mathrm{m}_{2} / \mathrm{s}, determine the soil temperature at distances 0,10,20, and 50 cm from the earth’s surface at the end of this 10-\mathrm{h} period.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
  • Pede a temperatura do solo ao final de 10 h em profundidades 0, 10, 20 e 50 cm abaixo da superfície.
  • Temperaturas iniciais e de contorno:
    • Temperatura inicial do solo: T_i = 15^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar (ambiente) imposta na superfície: T_\infty = -8^\circ\mathrm{C}.
    • Convecção na superfície: h = 40\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Propriedades do solo (fornecidas):
    • Condutividade térmica: k = 0{,}9\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Difusividade térmica: \alpha = 1{,}6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Tempo de exposição: t = 10\\ \mathrm{h} = 10\cdot3600 = 36000\\ \mathrm{s}.
  • Profundidades pedidas (converter para metros para as fórmulas):
    • x = 0\\ \mathrm{cm} = 0{,}00\\ \mathrm{m}.
    • x = 10\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}.
    • x = 20\\ \mathrm{cm} = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
    • x = 50\\ \mathrm{cm} = 0{,}50\\ \mathrm{m}.
Resumo do que será feito (não é a resolução em si, só organização): modelar a transmissão de calor no solo como condução unidimensional em um semi-infinito, com condição convectiva na superfície; analisar parâmetros para ver se é válido aproximar a condição convectiva por temperatura fixa na superfície; calcular então as temperaturas nas profundidades pedidas usando a solução apropriada.

Passo 2

Modelo físico e justificativa das hipóteses (passo importante antes de mexer em fórmulas):
  • O solo é tratado como um meio semi-infinito. Isso é razoável porque o solo se estende muito além das profundidades de interesse (até dezenas de centímetros/metros) e o tempo t gera penetração térmica de ordem \sqrt{\alpha t}, então as perturbações ficam limitadas a uma camada relativamente superficial. Vamos checar numericamente \sqrt{\alpha t} adiante.
  • A transferência é unidimensional (vertical) porque variações horizontais não foram mencionadas.
  • Na superfície x=0 há convecção para o ar a T_\infty com coeficiente h. A condição inicial é T(x,0)=T_i.
  • Método geral: existe solução analítica conhecida para semi-infinito com condição convectiva na superfície (solução de Carslaw & Jaeger). Porém, quando o parâmetro adimensional \beta = h\sqrt{\alpha t}/k é grande, a condição convectiva pode ser aproximada por temperatura de superfície igual a T_\infty (condição de Dirichlet), o que simplifica bastante os cálculos. Vou calcular \beta e decidir entre usar a solução explícita com convecção ou a aproximação de superfície mantida a T_\infty.

Passo 3

Fórmula exata (referência) e explicação das variáveis
  • A solução exata para semi-infinito inicialmente a T_i e submetido em x=0 a uma convecção com fluido a T_\infty (coeficiente h) é (forma conhecida):
\frac{T(x,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} = \operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right) - \exp\!\left(\frac{h x}{k} + \frac{h^{2}\alpha t}{k^{2}}\right) \operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}} + \frac{h\sqrt{\alpha t}}{k}\right).
  • Significado de cada símbolo:
    • T(x,t): temperatura no ponto x e tempo t.
    • T_i: temperatura inicial uniforme do solo.
    • T_\infty: temperatura do ar (fluido) que provoca convecção.
    • \alpha: difusividade térmica do solo ( \mathrm{m^2/s}).
    • k: condutividade térmica do solo ( \mathrm{W/(m\cdot K)}).
    • h: coeficiente convectivo na superfície ( \mathrm{W/(m^2\cdot K)}).
    • \operatorname{erfc} é a função erro complementar: \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z).
  • Esta expressão aparece em tabelas clássicas (Carslaw & Jaeger) e satisfaz a condição de contorno convectiva em x=0 e a condição inicial.

Passo 4

Cálculo de parâmetros numéricos e decisão de método
  • Primeiro calcule \alpha t e a profundidade térmica típica:
\alpha t = 1{,}6\times10^{-5}\cdot 36000 = 0{,}576\\ \mathrm{m^2},
\sqrt{\alpha t} = \sqrt{0{,}576} \approx 0{,}7583\\ \mathrm{m}.
Isso indica que a camada perturbada tem escopo de ordem \sim 0{,}76\\ \mathrm{m}, compatível com as profundidades de interesse (0{,}1–0{,}5 m).
  • Calcule o parâmetro adimensional que decide se a convecção é forte:
\beta \equiv \frac{h\sqrt{\alpha t}}{k} = \frac{40\cdot 0{,}7583}{0{,}9} \approx 33{,}70.
  • Interpretação: \beta \gg 1 (aqui \approx 33{,}7) significa que a resistência térmica por convecção é muito pequena comparada à resistência interna do solo na escala considerada: a superfície do solo rapidamente se aproxima da temperatura do ar. Portanto, a condição convectiva pode ser muito bem aproximada por uma condição de temperatura prescrita na superfície T(0,t)\approx T_\infty (condição de Dirichlet). Essa aproximação simplifica a solução e, com \beta tão grande, o erro cometido é desprezível para os pontos solicitados (0–50 cm). Por isso vou usar a solução para superfície mantida a T_\infty — método muito usado em provas quando h\sqrt{\alpha t}/k é grande.

Passo 5

Solução para superfície mantida a T_\infty (condição de Dirichlet) e por que ela é mais simples
  • Se a superfície é mantida a T_s = T_\infty para t>0, a solução para o semi-infinito com condição inicial T_i é:
T(x,t) = T_i + (T_\infty - T_i)\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right).
  • Verificação rápida do sentido físico:
    • Em x\to\infty a erfc tende a 0, logo T\to T_i (no infinito nada mudou).
    • Em x=0 a erfc(0)=1, então T(0,t)=T_i + (T_\infty-T_i)=T_\infty, ou seja, superfície fica à temperatura do ar — ok.
  • Aqui \operatorname{erfc} é a função erro complementar. Para pequenos argumentos z podemos usar a expansão em série da função \operatorname{erf}(z) (lembre: \operatorname{erfc}(z)=1-\operatorname{erf}(z)):
\operatorname{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\Big(z - \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{10} - \cdots\Big).
Vou usar os primeiros termos da expansão para avaliar os \operatorname{erfc} dos argumentos que surgem nas profundidades pedidas — os argumentos serão pequenos (porque 2\sqrt{\alpha t} é grande comparado com as profundidades), então a série converge rápido e permite cálculo sem calculadora complicada.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo das temperaturas pedidas
  • Primeiro calcule o denominador 2\sqrt{\alpha t}:
2\sqrt{\alpha t} = 2\cdot 0{,}7583 \approx 1{,}5166\\ \mathrm{m}.
  • Defina o argumento adimensional
z = \frac{x}{2\sqrt{\alpha t}} = \frac{x}{1{,}5166}.
Agora cada ponto:
  1. Para x=0{,}00\\ \mathrm{m}:
z=0,\qquad \operatorname{erfc}(0)=1.
Aplicando a fórmula:
T(0,t)=T_i + (T_\infty-T_i)\cdot 1 = 15^\circ\mathrm{C} + (-8^\circ\mathrm{C}-15^\circ\mathrm{C}) = -8{,}00^\circ\mathrm{C}.
(A superfície atinge a temperatura do ar, como esperado.)
  1. Para x=0{,}10\\ \mathrm{m} ( 10 cm):
z=\frac{0{,}10}{1{,}5166}\approx 0{,}06595.
Use expansão para \operatorname{erf}(z):
\operatorname{erf}(z)\approx \frac{2}{\sqrt{\pi}}\Big(z-\frac{z^{3}}{3}\Big).
Calcule numericamente (lembrando \tfrac{2}{\sqrt{\pi}}\approx 1{,}128379):
\operatorname{erf}(0{,}06595)\approx 1{,}128379\big(0{,}06595 - \tfrac{(0{,}06595)^3}{3}\big) \approx 0{,}07432.
Logo
\operatorname{erfc}(0{,}06595)=1-\operatorname{erf}\approx 0{,}92568.
Agora a temperatura:
T(0{,}10,t)=15 + (-8-15)\cdot 0{,}92568 = 15 -23\cdot 0{,}92568 \approx -6{,}29^\circ\mathrm{C}.
  1. Para x=0{,}20\\ \mathrm{m} ( 20 cm):
z=\frac{0{,}20}{1{,}5166}\approx 0{,}1319.
Calcule \operatorname{erf}(z) com mais um termo:
\operatorname{erf}(0{,}1319)\approx 1{,}128379\Big(0{,}1319 - \frac{(0{,}1319)^3}{3}\Big)\approx 0{,}14800,
\operatorname{erfc}(0{,}1319)\approx 0{,}85200.
Temperatura:
T(0{,}20,t)=15 -23\cdot 0{,}85200 \approx -4{,}60^\circ\mathrm{C}.
  1. Para x=0{,}50\\ \mathrm{m} ( 50 cm):
z=\frac{0{,}50}{1{,}5166}\approx 0{,}3298.
Aqui o argumento é maior, mas ainda podemos usar a expansão com termos iniciais para boa precisão:
\operatorname{erf}(0{,}3298)\approx 1{,}128379\Big(0{,}3298 - \frac{(0{,}3298)^3}{3} + \frac{(0{,}3298)^5}{10}\Big) \approx 0{,}35916,
\operatorname{erfc}(0{,}3298)\approx 0{,}64084.
Temperatura:
T(0{,}50,t)=15 -23\cdot 0{,}64084 \approx 0{,}26^\circ\mathrm{C}.
Observação sobre precisão: usamos expansão da função erro com alguns termos — para os z aqui (até \approx 0{,}33) a aproximação é boa e o parâmetro \beta grande garante que a aproximação Dirichlet é válida. Os resultados são numéricos arredondados a duas casas decimais.

Passo 7

Interpretação curta e comentário final (ânimo!)
  • Resultado fisicamente coerente: a superfície e camadas muito rasas se aproximam da temperatura do ar frio; mais para baixo o solo permanece mais quente e, em 0{,}5\\ \mathrm{m}, ainda está próximo de 0^\circ\mathrm{C}.
  • Você levou poucos passos e um pouco de série para a função erro — esse é o estilo que cai em prova: identificar modelo semi-infinito, checar se pode aproximar convecção por superfície mantida (verificando h\sqrt{\alpha t}/k), e então aplicar a solução com \operatorname{erfc}.

Resposta

0\\ \mathrm{cm}:\\\ -8{,}00^\circ\mathrm{C}
10\\ \mathrm{cm}:\\\ -6{,}29^\circ\mathrm{C}
20\\ \mathrm{cm}:\\\ -4{,}60^\circ\mathrm{C}
50\\ \mathrm{cm}:\\\ 0{,}26^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados