The soil temperature in the upper layers of the earth varies with the variations in the atmospheric conditions. Before a cold front moves in, the earth at a location is initially at a uniform temperature of
. Then the area is subjected to a temperature of
and high winds that result in convection heat transfer coefficient of
on the earths surface for a period of 10 h . Taking the properties of the soil at that location to be
and
, determine the soil temperature at distances
, and 50 cm from the earth’s surface at the end of this
period.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
- Pede a temperatura do solo ao final de
h em profundidades , , e cm abaixo da superfície. - Temperaturas iniciais e de contorno:
- Temperatura inicial do solo:
. - Temperatura do ar (ambiente) imposta na superfície:
. - Convecção na superfície:
.
- Temperatura inicial do solo:
- Propriedades do solo (fornecidas):
- Condutividade térmica:
. - Difusividade térmica:
.
- Condutividade térmica:
- Tempo de exposição:
. - Profundidades pedidas (converter para metros para as fórmulas):
-
. -
. -
. -
.
-
Resumo do que será feito (não é a resolução em si, só organização): modelar a transmissão de calor no solo como condução unidimensional em um semi-infinito, com condição convectiva na superfície; analisar parâmetros para ver se é válido aproximar a condição convectiva por temperatura fixa na superfície; calcular então as temperaturas nas profundidades pedidas usando a solução apropriada.
Passo 2
Modelo físico e justificativa das hipóteses (passo importante antes de mexer em fórmulas):
- O solo é tratado como um meio semi-infinito. Isso é razoável porque o solo se estende muito além das profundidades de interesse (até dezenas de centímetros/metros) e o tempo
gera penetração térmica de ordem , então as perturbações ficam limitadas a uma camada relativamente superficial. Vamos checar numericamente adiante. - A transferência é unidimensional (vertical) porque variações horizontais não foram mencionadas.
- Na superfície
há convecção para o ar a com coeficiente . A condição inicial é . - Método geral: existe solução analítica conhecida para semi-infinito com condição convectiva na superfície (solução de Carslaw & Jaeger). Porém, quando o parâmetro adimensional
é grande, a condição convectiva pode ser aproximada por temperatura de superfície igual a (condição de Dirichlet), o que simplifica bastante os cálculos. Vou calcular e decidir entre usar a solução explícita com convecção ou a aproximação de superfície mantida a .
Passo 3
Fórmula exata (referência) e explicação das variáveis
- A solução exata para semi-infinito inicialmente a
e submetido em a uma convecção com fluido a (coeficiente ) é (forma conhecida):
- Significado de cada símbolo:
-
: temperatura no ponto e tempo . -
: temperatura inicial uniforme do solo. -
: temperatura do ar (fluido) que provoca convecção. -
: difusividade térmica do solo ( ). -
: condutividade térmica do solo ( ). -
: coeficiente convectivo na superfície ( ). -
é a função erro complementar: .
-
- Esta expressão aparece em tabelas clássicas (Carslaw & Jaeger) e satisfaz a condição de contorno convectiva em
e a condição inicial.
Passo 4
Cálculo de parâmetros numéricos e decisão de método
- Primeiro calcule
e a profundidade térmica típica:
Isso indica que a camada perturbada tem escopo de ordem
, compatível com as profundidades de interesse (0{,}1–0{,}5 m).
- Calcule o parâmetro adimensional que decide se a convecção é forte:
- Interpretação:
(aqui ) significa que a resistência térmica por convecção é muito pequena comparada à resistência interna do solo na escala considerada: a superfície do solo rapidamente se aproxima da temperatura do ar. Portanto, a condição convectiva pode ser muito bem aproximada por uma condição de temperatura prescrita na superfície (condição de Dirichlet). Essa aproximação simplifica a solução e, com tão grande, o erro cometido é desprezível para os pontos solicitados (0–50 cm). Por isso vou usar a solução para superfície mantida a — método muito usado em provas quando é grande.
Passo 5
Solução para superfície mantida a
(condição de Dirichlet) e por que ela é mais simples
- Se a superfície é mantida a
para , a solução para o semi-infinito com condição inicial é:
- Verificação rápida do sentido físico:
- Em
a erfc tende a , logo (no infinito nada mudou). - Em
a erfc(0)=1, então , ou seja, superfície fica à temperatura do ar — ok.
- Em
- Aqui
é a função erro complementar. Para pequenos argumentos podemos usar a expansão em série da função (lembre: ):
Vou usar os primeiros termos da expansão para avaliar os
dos argumentos que surgem nas profundidades pedidas — os argumentos serão pequenos (porque
é grande comparado com as profundidades), então a série converge rápido e permite cálculo sem calculadora complicada.
Passo 6
Cálculo numérico passo a passo das temperaturas pedidas
- Primeiro calcule o denominador
:
- Defina o argumento adimensional
Agora cada ponto:
- Para
:
Aplicando a fórmula:
(A superfície atinge a temperatura do ar, como esperado.)
- Para
( cm):
Use expansão para
:
Calcule numericamente (lembrando
):
Logo
Agora a temperatura:
- Para
( cm):
Calcule
com mais um termo:
Temperatura:
- Para
( cm):
Aqui o argumento é maior, mas ainda podemos usar a expansão com termos iniciais para boa precisão:
Temperatura:
Observação sobre precisão: usamos expansão da função erro com alguns termos — para os
aqui (até
) a aproximação é boa e o parâmetro
grande garante que a aproximação Dirichlet é válida. Os resultados são numéricos arredondados a duas casas decimais.
Passo 7
Interpretação curta e comentário final (ânimo!)
- Resultado fisicamente coerente: a superfície e camadas muito rasas se aproximam da temperatura do ar frio; mais para baixo o solo permanece mais quente e, em
, ainda está próximo de . - Você levou poucos passos e um pouco de série para a função erro — esse é o estilo que cai em prova: identificar modelo semi-infinito, checar se pode aproximar convecção por superfície mantida (verificando
), e então aplicar a solução com .