Um escoamento é representado pelo campo de velocidade
v=(y^2+z^2) i+x z j+2 x^2 y^2 k
Verificar se o escoamento é:
a) um possível escoamento incompressível;
b) irrotacional.

Passo 1

Neste exercício temos o campo de velocidade vec v=(y^2+z^2),vec i + xz,vec j + 2x^2y^2,vec k. Vamos verificar duas propriedades clássicas de escoamentos: incompressibilidade (divergência nula) e irrotacionalidade (rotacional nulo). Para isso, usaremos as definições de divergência e rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para checar se o escoamento é incompressível, calculamos a divergência
nablacdotvec v = partialpartial x(y^2+z^2) + partialpartial y(xz) + partialpartial z(2x^2y^2)
Como
partialpartial x(y^2+z^2)=0, partialpartial y(xz)=0, partialpartial z(2x^2y^2)=0,
temos
nablacdotvec v = 0 + 0 + 0 = 0
Portanto a divergência é zero e o escoamento é incompressível.

Passo 3

Para checar se o escoamento é irrotacional, calculamos o rotacional
nablatimesvec v = vec i & vec j & vec k npartial/partial x & partial/partial y & partial/partial z ny^2+z^2 & xz & 2x^2y^2
As componentes são
(nablatimesvec v)x = partialpartial y(2x^2y^2) - partialpartial z(xz) = 4x^2y - x,
(nablatimesvec v)y = partialpartial z(y^2+z^2) - partialpartial x(2x^2y^2) = 2z - 4xy^2,
(nablatimesvec v)z = partialpartial x(xz) - partialpartial y(y^2+z^2) = z - 2y
Vemos que nablatimesvec vneqvec0, logo o campo não é irrotacional.

Resposta

a) Sim, é um escoamento incompressível. b) Não, não é irrotacional.

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