Verificar se o campo dado é irrotacional.
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Passo 1

O problema pede para verificar se o campo vetorial dado é irrotacional. O campo é vec f(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2). Vamos precisar da definição de rotacional (ou curl) de um campo vetorial em R^3 e calcular nablatimesvec f. Se nablatimesvec f=vec0, então o campo é irrotacional.

Passo 2

Para um campo vec f=(P,Q,R), o rotacional é definido por
nablatimesvec f=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr) Aqui temos P(x,y,z)=x^2, Q(x,y,z)=y^2 e R(x,y,z)=z^2.

Passo 3

Agora calculamos cada derivada parcial:


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Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do rotacional, obtemos
nablatimesvec f=(0-0,;0-0,;0-0)= (0,0,0) Como o rotacional é o vetor nulo em todo o domínio, concluímos que vec f é irrotacional.

Resposta

O campo vetorial vec f(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2) é irrotacional, pois seu rotacional é o vetor nulo.

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