Encontre o limite a seguir. Apresentar o raciocínio de forma organizada!
lim x +infty(3 x^2-9)^1 / x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+infty(3x^2-9)^1/x. Estamos lidando com uma forma do tipo infty^0, que é indeterminada, então vamos usar a técnica de logaritmo para transformar a expressão em algo mais manejável.

Passo 2

Para converter o expoente variável em um produto, definimos y=(3x^2-9)^1/x e aplicamos logaritmo natural dos dois lados:
ln y = lnl((3x^2-9)^1/xr) = 1xln(3x^2-9)
Agora precisamos analisar o comportamento de 1xln(3x^2-9) quando xto+infty. Primeiro, note que
$$\ln(3x^2-9) = \ln\bigl(3x2(1-\tfrac{3}{x2})\bigr)
 = \ln3 + 2\ln x + \ln\bigl(1-\tfrac{3}{x^2}\bigr).$$
Então o expoente fica
ln(3x^2-9) = lnl(3x^2(1-tfrac3x^2)r) = ln3 + 2ln x + lnl(1-tfrac3x^2r)
À medida que 1xln(3x^2-9) = ln3x + 2ln xx + 1xlnl(1-tfrac3x^2r), temos:
- xto+infty,
- tfracln3x to 0 porque tfrac2ln xx to 0 cresce mais devagar que ln x,
- e x, então ln(1-tfrac3x^2) sim -tfrac3x^2.

Passo 3

Logo
limxto+infty1xln(3x^2-9) = 0
Como ln yto0, isso implica yto e^0 = 1.
Portanto, o limite pedido é 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados