Resolver as integrais a seguir, apresentando o desenvolvimento de forma organizada:
integral0^pi sen x cdot sec ^3 x d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral integral0^pi sin x cdot sec^3 x ,dx. O conteúdo envolve substituição em integrais trigonométricas e análise de integral imprópria, pois pode haver pontos onde cos x=0 em [0,pi].

Passo 2

Observe que sec x=1/cos x e tan x=sin x/cos x. Assim
sin x cdot sec^3 x = sin xcos^3 x = sin xcos xcdot 1cos^2 x = tan x cdot sec^2 x

Passo 3

Para achar a antiderivada, fazemos a substituição u=tan x, de modo que du=sec^2 x,dx. A integral indefinida fica
integral tan x sec^2 x,dx = integral u,du = u^22+C = tan^2 x2+C

Passo 4

Agora, ao tentar avaliar de 0 a pi, notamos que em x=tfracpi2 temos cos x=0, fazendo sec^3 x explodir. Precisamos tratar como integral imprópria e verificar os limites laterais:
limxto(pi/2)^-tan^2 x2=+infty, limxto(pi/2)^+tan^2 x2=+infty

Passo 5

Como pelo menos um dos limites é infinito, a integral definida de 0 a pi não converge a um valor finito.

Resposta

A integral diverge, não converge a um valor finito.

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