2- Calcular a perda de carga num trecho de tubulação que escoa óleo ( \mathrm{v}=10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) por um diâmetro de 100 mm . A vazão do óleo é de 60 \mathrm{l} / \mathrm{s} e o comprimento da tubulação é de 98300 mm . Utilizar a fórmula de Darcy (fórmula universal) e SWANEEJAIN fazendo as devidas verificações, \mathrm{k}=\varepsilon=0,00020 \mathrm{~m}. ( \mathbf{1 , 5} PONTOS)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a perda de carga no trecho da tubulação (usar a fórmula de Darcy - “fórmula universal” - e a fórmula de Swamee–Jain, fazendo verificações):
\nu = 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s} (viscosidade cinemática do óleo)
D = 100\\ \mathrm{mm} = 0{,}1\\ \mathrm{m} (diâmetro da tubulação)
Q = 60\\ \mathrm{L/s} = 0{,}06\\ \mathrm{m^{3}/s} (vazão)
L = 98300\\ \mathrm{mm} = 98{,}3\\ \mathrm{m} (comprimento do trecho)
\varepsilon = k = 0{,}00020\\ \mathrm{m} (rugosidade absoluta)
O objetivo: calcular a perda de carga h_f (em metros de coluna de fluido) usando a equação de Darcy–Weisbach
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito (fator de Darcy). Vamos obter f por (a) Swamee–Jain (fórmula explícita) e (b) resolver implicitamente a equação de Colebrook (a “fórmula universal”/Darcy implícita) para verificar.

Passo 2

Calcular a velocidade média V a partir da equação da continuidade Q = A V, com a área da seção transversal A = \pi D^2/4.
Área:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}1)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}0025 = 0{,}00785398163397448\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade:
V = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}06}{0{,}00785398163397448} \approx 7{,}639437268\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: A é a área interna do tubo; V é a velocidade média. Esses passos você faz sempre que conhece Q e D.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re} = \dfrac{V D}{\nu} para determinar o regime de escoamento (laminar/transicional/turbulento).
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu} = \frac{7{,}639437268\cdot 0{,}1}{10^{-5}} \approx 76394{,}37.
Interpretação didática: se \mathrm{Re} < 2000 o escoamento é laminar; entre \sim 2000 e \sim 4000 é transicional; para \mathrm{Re}>4000 é turbulento. Aqui \mathrm{Re}\approx 7{,}6\times 10^{4}, logo o escoamento é turbulento. Isso justifica usar a equação de Colebrook/Swamee–Jain (elas tratam escoamento turbulento em tubos rugosos).

Passo 4

Definir a equação de Darcy–Weisbach (para perda de carga em termos de altura):
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde
  • h_f é a perda de carga (m),
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento do trecho (m),
  • D é o diâmetro (m),
  • V é a velocidade média (m/s),
  • g é a gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
Para encontrar h_f precisamos de f. Em escoamento turbulento com rugosidade relativa \varepsilon/D não desprezível, f é obtido por Colebrook (implícito) ou por aproximações explícitas como Swamee–Jain.

Passo 5

Calcular a rugosidade relativa \dfrac{\varepsilon}{D}:
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{0{,}00020}{0{,}1} = 0{,}002.
Anotação: essa é uma informação importante para entrar nas fórmulas de atrito.
Agora aplicamos a fórmula de Swamee–Jain (fórmula explícita para f, válida para escoamento turbulento):
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Vamos calcular passo a passo os termos internos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} = \frac{0{,}00020}{3{,}7\cdot 0{,}1} = \frac{0{,}00020}{0{,}37} \approx 0{,}0005405405.
Calcular \mathrm{Re}^{0{,}9}:
\mathrm{Re}^{0{,}9} = (76394{,}37)^{0{,}9} \approx 24824\quad(\text{aprox.}).
Então
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{24824} \approx 0{,}0002314.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 0{,}0005405405 + 0{,}0002314 = 0{,}00077194.
Agora o logaritmo decimal:
\log_{10}(0{,}00077194) \approx -3{,}11276.
Logo
f = 0{,}25 \bigl(-3{,}11276\bigr)^{-2} = \frac{0{,}25}{(3{,}11276)^2} \approx 0{,}02580.
Conclusão: pela fórmula de Swamee–Jain obtemos f \approx 0{,}02580.

Passo 6

Com f (Swamee–Jain) calculado, aplicamos a Darcy–Weisbach para a perda de carga h_f. Primeiro calculamos o termo \dfrac{V^2}{2g}:
\frac{V^2}{2g} = \frac{(7{,}639437268)^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{58{,}359}{19{,}62} \approx 2{,}975\\ \mathrm{m}.
Fator geométrico \dfrac{L}{D} = \dfrac{98{,}3}{0{,}1} = 983.
Agora
h_{f,\text{SJ}} = f_{\text{SJ}}\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g} \approx 0{,}02580\cdot 983\cdot 2{,}975 \approx 75{,}42\\ \mathrm{m}.
Interpretação: com Swamee–Jain a perda de carga no trecho é aproximadamente 75{,}4\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação usando a equação implícita de Colebrook (a “fórmula universal” para fator de atrito) — fazemos iterações para resolver f e checar a consistência:
Equação de Colebrook (forma usual):
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).
Usamos f_{\text{SJ}}=0{,}02580 como chute inicial e iteramos. Iteração 1 (avaliando o lado direito com f=0{,}02580):
\sqrt{f}=0{,}16062,\qquad \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}} \approx \frac{2{,}51}{76394{,}37\cdot 0{,}16062} \approx 0{,}0002045,
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}} \approx 0{,}0007450,
-2\log_{10}(0{,}0007450) \approx 6{,}2558 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{f}} \approx 6{,}2558 \Rightarrow f \approx (1/6{,}2558)^2 \approx 0{,}02554.
Iteração 2 com f=0{,}02554 converge rapidamente para cerca de f\approx 0{,}02554. Ou seja, a solução da equação de Colebrook dá f_{\text{Colebrook}}\approx 0{,}02554.
Calcular h_f com esse f:
h_{f,\text{Colebrook}} = 0{,}02554\cdot 983\cdot 2{,}975 \approx 74{,}70\\ \mathrm{m}.
Comentário: a diferença entre Swamee–Jain e Colebrook aqui é pequena (aprox. 75{,}42\\ \mathrm{m} vs 74{,}70\\ \mathrm{m}, cerca de 1%); isso valida o uso prático de Swamee–Jain como boa aproximação explícita.

Passo 8

Resumo dos resultados intermediários (para conferência):
V \approx 7{,}6394\\ \mathrm{m/s},\quad \mathrm{Re}\approx 76394,\quad \frac{\varepsilon}{D}=0{,}002.
f_{\text{Swamee–Jain}}\approx 0{,}02580,\qquad h_{f,\text{SJ}}\approx 75{,}42\\ \mathrm{m}.
f_{\text{Colebrook}}\approx 0{,}02554,\qquad h_{f,\text{Colebrook}}\approx 74{,}70\\ \mathrm{m}.
Motivação final: em prova, calcule sempre V, \mathrm{Re} e \varepsilon/D primeiro; escolha Swamee–Jain para obter f diretamente e, se quiser maior precisão, faça uma iteração por Colebrook para verificar.

Resposta

Perda de carga usando Swamee–Jain: h_f \approx 75{,}42\\ \mathrm{m}
Perda de carga usando Colebrook (fórmula universal/Darcy implícita): h_f \approx 74{,}70\\ \mathrm{m}

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