Considere os pontos
e C pertencentes a uma circunferência. Se o ângulo
mede
, qual é a medida do arco
Passo 1
Dados fornecidos:
- Os pontos
, e pertencem a uma mesma circunferência. - O ângulo com vértice em
, formado pelos pontos , e , tem medida .
O que o problema pede:
- Determinar a medida do arco
(ou seja, a medida do arco ).
Passo 2
Definição e ideia-chave que precisamos usar (explicação didática):
- Um ângulo inscrito numa circunferência é um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência e cujos lados interceptam a circunferência em dois pontos. No nosso caso
é um ângulo inscrito que intercepta o arco . - A medida de um arco é dada em graus e coincide com a medida do ângulo central que subtende esse mesmo arco (ângulo com vértice no centro da circunferência e lados passando por
e ).
Passo 3
Teorema fundamental (enunciado e explicação):
- Teorema do ângulo inscrito: a medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que ele intercepta.
- Em notação:
- Por que isso vale (intuição/prova curta):
- Seja
o centro da circunferência. O ângulo central subtende o mesmo arco , portanto
- O ângulo inscrito
intercepta a mesma corda . Geometricamente pode-se ver que é metade de (porque, ao conectar a , formam-se triângulos isósceles cujas relações levam a essa igualdade). Assim
- Essa é uma relação padrão que você pode usar direto na prova: ângulo inscrito = metade do arco que intercepta.
- Seja
Passo 4
Aplicando a fórmula ao problema:
- Sabemos que
. Usando
temos
- Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Observação sobre qual arco estamos pensando:
- O ângulo inscrito em
intercepta o arco menor entre e . Por isso a medida calculada é a medida do arco menor . Se o enunciado tivesse pedido o arco maior (o restante da circunferência), seria . Como normalmente se entende “o arco ” nesse contexto, usamos o arco interceptado pelo ângulo inscrito (o menor).