Considere os pontos \mathrm{A}, \mathrm{B} e C pertencentes a uma circunferência. Se o ângulo A \widehat{B} C mede 50^{\circ}, qual é a medida do arco A C ?

Passo 1

Dados fornecidos:
  • Os pontos A, B e C pertencem a uma mesma circunferência.
  • O ângulo com vértice em B, formado pelos pontos A, B e C, tem medida \angle ABC = 50^\circ.
O que o problema pede:
  • Determinar a medida do arco AC (ou seja, a medida do arco \overset{\frown}{AC}).

Passo 2

Definição e ideia-chave que precisamos usar (explicação didática):
  • Um ângulo inscrito numa circunferência é um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência e cujos lados interceptam a circunferência em dois pontos. No nosso caso \angle ABC é um ângulo inscrito que intercepta o arco \overset{\frown}{AC}.
  • A medida de um arco é dada em graus e coincide com a medida do ângulo central que subtende esse mesmo arco (ângulo com vértice no centro da circunferência e lados passando por A e C).

Passo 3

Teorema fundamental (enunciado e explicação):
  • Teorema do ângulo inscrito: a medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que ele intercepta.
  • Em notação:
\angle ABC = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{AC}.
  • Por que isso vale (intuição/prova curta):
    • Seja O o centro da circunferência. O ângulo central \angle AOC subtende o mesmo arco \overset{\frown}{AC}, portanto
    \angle AOC = \overset{\frown}{AC}.
    • O ângulo inscrito \angle ABC intercepta a mesma corda AC. Geometricamente pode-se ver que \angle ABC é metade de \angle AOC (porque, ao conectar O a A,B,C, formam-se triângulos isósceles cujas relações levam a essa igualdade). Assim
    \angle ABC = \tfrac{1}{2}\,\angle AOC = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{AC}.
    • Essa é uma relação padrão que você pode usar direto na prova: ângulo inscrito = metade do arco que intercepta.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao problema:
  • Sabemos que \angle ABC = 50^\circ. Usando
\angle ABC = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{AC},
temos
50^\circ = \tfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{AC}.
  • Multiplicando ambos os lados por 2:
\overset{\frown}{AC} = 2\cdot 50^\circ = 100^\circ.

Passo 5

Observação sobre qual arco estamos pensando:
  • O ângulo inscrito em B intercepta o arco menor entre A e C. Por isso a medida calculada \overset{\frown}{AC}=100^\circ é a medida do arco menor AC. Se o enunciado tivesse pedido o arco maior AC (o restante da circunferência), seria 360^\circ-100^\circ=260^\circ. Como normalmente se entende “o arco AC” nesse contexto, usamos o arco interceptado pelo ângulo inscrito (o menor).

Resposta

\,100^\circ

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