Para escoamento a velocidades muito lentas e com viscosidade alta (o conhecido creeping flow), tal qual o que ocorre em lubrificação, é possível desprezar os termos inerciais, Dv/Dt a partir da equação de Navier-Stokes. Para escoamentos a altas velocidades e viscosidade baixa, não é apropriado desprezar os termos viscosos
. Explique.
Passo 1
O enunciado nos lembra da equação de Navier–Stokes na forma
e diz que, para escoamento creeping (velocidades muito baixas, viscosidade alta), podemos desprezar o termo inercial
. Em contrapartida, para escoamentos de altas velocidades e baixa viscosidade, questiona-se por que não faz sentido desprezar o termo viscoso
. Vamos usar argumentos de ordem de grandeza e o conceito de número de Reynolds para explicar isso.
Passo 2
Introduzimos escalas características de velocidade
e comprimento
.
– O termo convectivo tem ordem de grandeza
– O termo convectivo tem ordem de grandeza
– O termo viscoso tem ordem de grandeza
O quociente entre esses dois termos define o número de Reynolds
Se
, então
e de fato o termo convectivo é muito menor que o viscoso, justificando o creeping flow.
Passo 3
Para altas velocidades e baixa viscosidade temos
. Nesse caso
ou seja, globalmente o termo convectivo (inercial) domina sobre o viscoso. Se fizéssemos o mesmo raciocínio de “desprezar o termo viscoso” teríamos a equação de Euler, mas isso ignoraria fenômenos fundamentais que ocorrem junto às paredes sólidas e na dissipação de energia.
Passo 4
Mesmo com
, perto das paredes se forma uma camada limite onde as variações de velocidade ocorrem num comprimento característico
. Nessa região a segunda derivada em direção à normal à parede escala como
e o termo viscoso passa a ter ordem
. Como
, esse termo fica da mesma ordem de grandeza do termo inercial localmente, de modo a garantir a condição de não deslizamento (
na parede) e a dissipação de energia viscosa.
Passo 5
Portanto, em escoamentos de alto
não podemos descartar
por duas razões principais:
- Sem ele não satisfazemos a condição de não deslizamento nas fronteiras sólidas.
- Ele é responsável pela formação da camada limite e pela dissipação viscosa, fenômenos que continuam a controlar o comportamento do escoamento nas proximidades das paredes e na distribuição de pressão no domínio.
Resposta
Não faz sentido desprezar o termo viscoso em regimes de alta velocidade e baixa viscosidade porque, embora o termo inercial domine no escoamento principal (
), o termo
continua sendo crucial na camada limite junto às paredes (para satisfazer a condição de não deslizamento) e para a dissipação de energia viscosa.