A tensão de cisalhamento na parede, \tau_{w}, em uma camadalimite depende da distância a partir da borda de ataque do objeto, x, da massa especifica, \rho, e da viscosidade, \mu, do fluido e da velocidade da corrente livre do escoamento, U. Obtenha os grupos adimensionais e expresse a relação funcional entre eles.

Passo 1

O enunciado diz que a tensão de cisalhamento na parede, \tau_{w}, depende de x (distância desde a borda de ataque), da massa específica \rho, da viscosidade \mu e da velocidade de corrente livre U. Vamos usar análise dimensional (teorema de Buckingham π) para encontrar os grupos adimensionais e depois escrever a relação funcional entre eles.

Passo 2

Identificamos as variáveis e suas dimensões fundamentais (M: massa, L: comprimento, T: tempo):
\tau_{w};–; [M\,L^{-1}T^{-2}]
x;–; [L]
\rho;–; [M\,L^{-3}]
\mu;–; [M\,L^{-1}T^{-1}]
U;–; [L\,T^{-1}]
Como temos 5 variáveis e 3 dimensões fundamentais, o teorema de Buckingham prevê 5-3=2 grupos adimensionais.

Passo 3

Escolhemos como variáveis repetidas \rho, U e x, pois elas cobrem as dimensões M, L e T. Para o primeiro grupo \pi_{1} tomamos \tau_{w} e construímos
\pi_{1} \;=\;\tau_{w}\,\rho^{a}\,U^{b}\,x^{c}.

Passo 4

Impondo que \pi_{1} seja adimensional, igualamos a soma dos expoentes de M, L e T a zero:
M: 1 + a = 0 a=-1
T: -2 - b = 0 b=-2
L: -1 -3a + b + c = 0 -1 +3 -2 + c =0 c=0
Logo
\pi_{1} = \frac{\tau_{w}}{\rho\,U^{2}}.

Passo 5

Para o segundo grupo \pi_{2} usamos \mu e as mesmas repetidas:
\pi_{2} = \mu\,\rho^{a}\,U^{b}\,x^{c}.
Repetindo o procedimento dimensional:
M: 1 + a=0 a=-1
T: -1 - b=0 b=-1
L: -1 -3a + b + c=0 -1 +3 -1 + c=0 c=-1
Logo
\pi_{2} = \frac{\mu}{\rho\,U\,x}\;=\;(\mathrm{Re}_{x})^{-1},
onde \mathrm{Re}_{x}=\dfrac{\rho\,U\,x}{\mu}.

Passo 6

Pelo teorema de Buckingham, existe uma função adimensional \Phi tal que
\pi_{1} \;=\;\Phi(\pi_{2}).
Substituindo os grupos, obtemos a relação funcional entre eles:
\frac{\tau_{w}}{\rho\,U^{2}} \;=\;\Phi\!\Bigl(\frac{\mu}{\rho\,U\,x}\Bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad \tau_{w} = \rho\,U^{2}\,\Phi\!\bigl(\mathrm{Re}_{x}^{-1}\bigr).

Resposta

Os dois grupos adimensionais são
\pi_{1} = \frac{\tau_{w}}{\rho\,U^{2}} \quad\text{e}\quad \pi_{2} = \frac{\mu}{\rho\,U\,x} = \mathrm{Re}_{x}^{-1},
e a relação funcional é
\frac{\tau_{w}}{\rho\,U^{2}} = \Phi\!\Bigl(\frac{\mu}{\rho\,U\,x}\Bigr).

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