Quais dos escoamentos são incompressíveis, de acordo com os componentes escalares dos campos vetoriais a seguir?
Escoamento A:
u=2 y+3 z ; v=2 x-1 ; w=x^2+4
Escoamento B:
u=2 cos (x)-5 ; v=y sen(x)-x z ; w=3 y^3+z sen(x)
Escoamento C:
u=x+y+z ; v=e^y ; w=z-e^z
Resp.: Escoamentos A e B

Passo 1

O enunciado apresenta três escoamentos cujos campos de velocidade v=(u,v,w) são dados por componentes escalares em função de (x,y,z). Para verificar se um escoamento é incompressível, basta calcular a divergência do campo
nablacdotv =partial upartial x +partial vpartial y +partial wpartial z,
e checar se ela é identicamente zero em todo o domínio.

Passo 2

Para o escoamento A temos
u=2y+3z, v=2x-1, w=x^2+4
Calculamos as derivadas parciais:
partial upartial x=0, partial vpartial y=0, partial wpartial z=0
Logo
nablacdotvA =0+0+0=0,
portanto o escoamento A é incompressível.

Passo 3

Para o escoamento B temos
u=2cos(x)-5, v=y,sin(x)-x,z, w=3y^3+z,sin(x)
As derivadas parciais são
partial upartial x=-2sin(x), partial vpartial y=sin(x), partial wpartial z=sin(x)
Somando,
nablacdotvB =-2sin(x)+sin(x)+sin(x)=0,
ou seja, o escoamento B também é incompressível.

Passo 4

Para o escoamento C temos
u=x+y+z, v=e^y, w=z-e^z
As derivadas parciais são
partial upartial x=1, partial vpartial y=e^y, partial wpartial z=1-e^z
Então
nablacdotvC =1+e^y+(1-e^z) =2+e^y-e^zneq0
de forma geral, logo o escoamento C é compressível.

Resposta

Os escoamentos incompressíveis são A e B.

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