Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a integral de
vezes
, de
a
, é igual a zero para qualquer
e
maiores ou iguais a zero. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e propriedades de funções pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o produto
usando uma identidade trigonométrica que facilita a integração. Sabia que temos:
Aplicando isso no nosso caso, onde
e
, fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão na integral original:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais. Sabemos que a integral de uma função seno sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como de
a
, é sempre zero. Isso porque a função seno é ímpar, e as áreas positivas e negativas se cancelam.
Então:
Passo 5
Substituindo esses resultados de volta na nossa expressão: