Prove que
integral-pi^pi cos m t sen n t d t=0, forall m, n >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a integral de cos mt vezes sin nt, de -pi a pi, é igual a zero para qualquer m e n maiores ou iguais a zero. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e propriedades de funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o produto cos mt cdot sin nt usando uma identidade trigonométrica que facilita a integração. Sabia que temos:
cos A cdot sin B = , sin(A + B) + sin(B - A) ,, 2 ,
Aplicando isso no nosso caso, onde A = mt e B = nt, fica:
cos mt cdot sin nt = , sin((m + n)t) + sin((n - m)t) ,, 2 ,

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão na integral original:
integral-pi^pi cos mt cdot sin nt , dt = integral-pi^pi , sin((m + n)t) + sin((n - m)t) ,, 2 , dt
Podemos separar a integral em duas partes:
= ,1,,2, ( integral-pi^pi sin((m + n)t) , dt + integral-pi^pi sin((n - m)t) , dt )

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais. Sabemos que a integral de uma função seno sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como de -pi a pi, é sempre zero. Isso porque a função seno é ímpar, e as áreas positivas e negativas se cancelam.
Então:
integral-pi^pi sin((m + n)t) , dt = 0
integral-pi^pi sin((n - m)t) , dt = 0

Passo 5

Substituindo esses resultados de volta na nossa expressão:
,1,,2, (0 + 0) = 0

Resposta

0

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