Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
f(t)=cct+1, & se -1 <= t<0, 1-t, & se 0 <= t<1, f(t+2)=f(t), forall t in R.

Passo 1

Temos uma função periódica de período 2 dada por
f(t)=t+1,&-1<= t<0,1-t,&0<= t<1,f(t+2)=f(t)
O objetivo é obter a série de Fourier dessa função, que é uma senóide geral de frequência fundamental omega0=pi.

Passo 2

Primeiro, esboçamos o gráfico em um período [-1,1]. É uma forma triangular que vale 0 em t=pm1, atinge valor 1 em t=0 e varia linearmente. Observamos também que f(-t)=f(t), ou seja, a função é par.

Passo 3

Para funções pares de período 2L com L=1, a série de Fourier fica
f(t)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi t)+bnsin(npi t)r),
mas como a função é par, todos os bn=0. Então
f(t)=a02+sumn=1^inftyancos(npi t)

Passo 4

O coeficiente a0 é dado por
a0=integral-1^1f(t),dt=2integral0^1(1-t),dt=2l[t-t^22r]0^1=2l(1-tfrac12r)=1

Passo 5

Para n>=1,
an=integral-1^1f(t)cos(npi t),dt=2integral0^1(1-t)cos(npi t),dt
Chamando
In=integral0^1(1-t)cos(npi t),dt,
calculamos
integral0^1cos(npi t),dt=0,
integral0^1tcos(npi t),dt=(-1)^n-1n^2pi^2,
e portanto
In=0-(-1)^n-1n^2pi^2=1-(-1)^nn^2pi^2,
o que leva a
an=2In=2l(1-(-1)^nr)n^2pi^2

Passo 6

Note que para n par temos 1-(-1)^n=0, logo an=0. Para n=2k+1 ímpar, 1-(-1)^n=2 e
a2k+1=4(2k+1)^2pi^2
Assim, a série de Fourier final é dada por
f(t)=12+sumk=0^infty4(2k+1)^2pi^2cosl((2k+1)pi tr)

Resposta

f(t)=12+sumk=0^infty4(2k+1)^2pi^2cosl((2k+1)pi tr)

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