Numa escola funcionam dois cursos, um de desenho publicitário e outro de desenho artístico, perfazendo um total de 90 vagas. No final da inscrição, havia 60 alunos inscritos para desenho publicitário e 50 para desenho artístico, sendo que alguns optaram pelos dois cursos.
Determine, escolhendo ao acaso uma ficha de inscrição, qual a probabilidade de ela ter a opção do curso de desenho:
a. Publicitário
b. Artístico
c. Somente publicitário
d. Artístico ou publicitário
e. Artístico e publicitário

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que abaixo:
  • Informações dadas:
    • O total de fichas (vagas) é 90.
    • O número de inscrições que incluem o curso de desenho publicitário é 60.
    • O número de inscrições que incluem o curso de desenho artístico é 50.
    • Alguns candidatos optaram por ambos os cursos (o enunciado não dá esse número diretamente).
  • Perguntas (calcular a probabilidade, ao escolher uma ficha ao acaso):
    a. Que a ficha tenha a opção de desenho publicitário.
    b. Que a ficha tenha a opção de desenho artístico.
    c. Que a ficha tenha somente desenho publicitário.
    d. Que a ficha tenha desenho artístico ou publicitário (ou ambos).
    e. Que a ficha tenha desenho artístico e publicitário (ambos).

Passo 2

Vamos modelar o problema com eventos e lembrar a definição básica de probabilidade que vamos usar.
  • Definimos os eventos (conjuntos de fichas):
    • P = ficha que inclui desenho publicitário.
    • A = ficha que inclui desenho artístico.
  • Definição de probabilidade em espaços equiprováveis:
    • Se há N fichas no total e n(E) fichas favoráveis a um evento E, então
    P(E)=\frac{n(E)}{N}.Aqui N=90. Portanto, para cada pergunta precisaremos encontrar o número de fichas favoráveis e dividir por 90.

Passo 3

Precisamos descobrir quantas fichas optaram por ambos os cursos (ou seja, n(P\cap A)), porque os números 60 e 50 somam mais que 90 — isso indica que houve sobreposição. Usamos a fórmula que relaciona uniões e interseções (fórmula da contagem para dois conjuntos):
  • Fórmula (explicando as variáveis):
    • n(P) é o número de fichas que escolheram publicitário (aqui n(P)=60).
    • n(A) é o número de fichas que escolheram artístico (aqui n(A)=50).
    • n(P\cap A) é o número de fichas que escolheram ambos.
    • n(P\cup A) é o número de fichas que escolheram pelo menos um dos dois cursos.
      A fórmula é
    n(P\cup A)=n(P)+n(A)-n(P\cap A).Essa fórmula evita a dupla contagem das fichas que pertencem a ambos: ao somar n(P)+n(A) as fichas em P\cap A foram contadas duas vezes, então subtrai-se uma vez n(P\cap A).

Passo 4

Aplicamos a fórmula ao caso concreto. Observação: todas as fichas são inscrições para esses cursos, então cada ficha escolheu pelo menos um dos cursos; portanto n(P\cup A)=90. Substituindo:
90 = 60 + 50 - n(P\cap A).
Agora isolamos n(P\cap A):
n(P\cap A) = 60 + 50 - 90 = 110 - 90 = 20.
Logo, 20 fichas escolheram ambos os cursos.

Passo 5

Com n(P\cap A)=20 podemos obter o número de fichas que escolheram somente um dos cursos.
  • Somente publicitário:
    n(\text{somente }P) = n(P) - n(P\cap A) = 60 - 20 = 40.
    Interpretação: dessas 60 que marcaram publicitário, 20 também marcaram artístico, então restam 40 que marcaram apenas publicitário.
  • Somente artístico (só para completar a intuição; não foi pedido diretamente, mas ajuda):
    n(\text{somente }A) = n(A) - n(P\cap A) = 50 - 20 = 30.
Conferindo: 40 + 30 + 20 = 90 (fichas divididas em somente P, somente A e ambos).

Passo 6

Agora calculamos as probabilidades pedidas usando P(E)=\dfrac{n(E)}{90} e simplificando as frações.
a) Probabilidade de a ficha ter a opção de desenho publicitário (evento P):
P(P)=\frac{n(P)}{90}=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}.
b) Probabilidade de a ficha ter a opção de desenho artístico (evento A):
P(A)=\frac{n(A)}{90}=\frac{50}{90}=\frac{5}{9}.
c) Probabilidade de ser somente publicitário:
P(\text{somente }P)=\frac{n(\text{somente }P)}{90}=\frac{40}{90}=\frac{4}{9}.

Passo 7

Continuando com as últimas duas perguntas, usando a fórmula da união quando necessário.
d) Probabilidade de ser artístico ou publicitário (união P\cup A). Pelo enunciado todas as fichas são para esses cursos, então n(P\cup A)=90, logo
P(P\cup A)=\frac{90}{90}=1.
Também podemos obter por fórmula:
P(P\cup A)=P(P)+P(A)-P(P\cap A)=\frac{60}{90}+\frac{50}{90}-\frac{20}{90}=\frac{90}{90}=1.
e) Probabilidade de ser artístico e publicitário (interseção P\cap A):
P(P\cap A)=\frac{n(P\cap A)}{90}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}.

Resposta

a. \dfrac{2}{3}
b. \dfrac{5}{9}
c. \dfrac{4}{9}
d. 1
e. \dfrac{2}{9}

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