Numa escola funcionam dois cursos, um de desenho publicitário e outro de desenho artístico, perfazendo um total de 90 vagas. No final da inscrição, havia 60 alunos inscritos para desenho publicitário e 50 para desenho artístico, sendo que alguns optaram pelos dois cursos.
Determine, escolhendo ao acaso uma ficha de inscrição, qual a probabilidade de ela ter a opção do curso de desenho:
a. Publicitário
b. Artístico
c. Somente publicitário
d. Artístico ou publicitário
e. Artístico e publicitário
a. Publicitário
b. Artístico
c. Somente publicitário
d. Artístico ou publicitário
e. Artístico e publicitário
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que abaixo:
- Informações dadas:
- O total de fichas (vagas) é
. - O número de inscrições que incluem o curso de desenho publicitário é
. - O número de inscrições que incluem o curso de desenho artístico é
. - Alguns candidatos optaram por ambos os cursos (o enunciado não dá esse número diretamente).
- O total de fichas (vagas) é
- Perguntas (calcular a probabilidade, ao escolher uma ficha ao acaso):
a. Que a ficha tenha a opção de desenho publicitário.
b. Que a ficha tenha a opção de desenho artístico.
c. Que a ficha tenha somente desenho publicitário.
d. Que a ficha tenha desenho artístico ou publicitário (ou ambos).
e. Que a ficha tenha desenho artístico e publicitário (ambos).
Passo 2
Vamos modelar o problema com eventos e lembrar a definição básica de probabilidade que vamos usar.
- Definimos os eventos (conjuntos de fichas):
-
= ficha que inclui desenho publicitário. -
= ficha que inclui desenho artístico.
-
- Definição de probabilidade em espaços equiprováveis:
- Se há
fichas no total e fichas favoráveis a um evento , então
Aqui . Portanto, para cada pergunta precisaremos encontrar o número de fichas favoráveis e dividir por . - Se há
Passo 3
Precisamos descobrir quantas fichas optaram por ambos os cursos (ou seja,
), porque os números
e
somam mais que
— isso indica que houve sobreposição. Usamos a fórmula que relaciona uniões e interseções (fórmula da contagem para dois conjuntos):
- Fórmula (explicando as variáveis):
-
é o número de fichas que escolheram publicitário (aqui ). -
é o número de fichas que escolheram artístico (aqui ). -
é o número de fichas que escolheram ambos. -
é o número de fichas que escolheram pelo menos um dos dois cursos.
A fórmula é
Essa fórmula evita a dupla contagem das fichas que pertencem a ambos: ao somar as fichas em foram contadas duas vezes, então subtrai-se uma vez . -
Passo 4
Aplicamos a fórmula ao caso concreto. Observação: todas as fichas são inscrições para esses cursos, então cada ficha escolheu pelo menos um dos cursos; portanto
. Substituindo:
Agora isolamos
:
Logo,
fichas escolheram ambos os cursos.
Passo 5
Com
podemos obter o número de fichas que escolheram somente um dos cursos.
-
Somente publicitário:Interpretação: dessas
que marcaram publicitário, também marcaram artístico, então restam que marcaram apenas publicitário. -
Somente artístico (só para completar a intuição; não foi pedido diretamente, mas ajuda):
Conferindo:
(fichas divididas em somente
, somente
e ambos).
Passo 6
Agora calculamos as probabilidades pedidas usando
e simplificando as frações.
a) Probabilidade de a ficha ter a opção de desenho publicitário (evento
):
b) Probabilidade de a ficha ter a opção de desenho artístico (evento
):
c) Probabilidade de ser somente publicitário:
Passo 7
Continuando com as últimas duas perguntas, usando a fórmula da união quando necessário.
d) Probabilidade de ser artístico ou publicitário (união
). Pelo enunciado todas as fichas são para esses cursos, então
, logo
Também podemos obter por fórmula:
e) Probabilidade de ser artístico e publicitário (interseção
):
Resposta
a.
b.
c.
d.
e.
b.
c.
d.
e.