Um levantamento feito com 200 funcionários de uma empresa apresentou o seguinte resultado:
Homens (H) Mulheres (M) Total
Fumantes (F) 70 10 80
Não Fumantes (nF) 30 90 120
Total 100 100 200
Sorteia-se um funcionário ao acaso:
a. Qual a probabilidade de que seja homem? E de que seja mulher?
b. Se o sorteio for feito entre os não fumantes, qual a probabilidade de que seja homem? E de que seja mulher?
c. Calcule: P(H / F), P(M / F), P(F / M), P(F / H) e P(n F / M).

Passo 1

O enunciado apresenta uma tabela com a contagem de funcionários (total 200) divididos por sexo e por hábito de fumar. Vou listar explicitamente os dados que eu pego da tabela e as perguntas pedidas.
Dados (retirados da tabela):
  • Número total de funcionários: 200.
  • Homens: 100.
  • Mulheres: 100.
  • Fumantes: 80 (sendo 70 homens e 10 mulheres).
  • Não fumantes: 120 (sendo 30 homens e 90 mulheres).
Perguntas:
a. Qual a probabilidade de que o funcionário sorteado seja homem? E de que seja mulher?
b. Se o sorteio for feito apenas entre os não fumantes, qual a probabilidade de que seja homem? E de que seja mulher?
c. Calcule P(H\mid F),\;P(M\mid F),\;P(F\mid M),\;P(F\mid H) e P(nF\mid M).

Passo 2

Conceito básico de probabilidade usado aqui: quando todos os funcionários têm a mesma chance de serem sorteados, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos}}.úáú
Para responder (a) aplico essa fórmula com o total 200.
Cálculo de P(H) (probabilidade de ser homem):
P(H)=\frac{100}{200}=\frac{1}{2}=0,5.
Cálculo de P(M) (probabilidade de ser mulher):
P(M)=\frac{100}{200}=\frac{1}{2}=0,5.

Passo 3

Agora explico o conceito de probabilidade condicional, que é necessário para (b) e (c).
Definição (fórmula):
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Interpretação prática: a probabilidade de A dado que B ocorreu é a fração dos casos de B que também pertencem a A. Quando trabalhamos com contagens, isso fica mais simples: se o evento condicionado B tem \#B elementos, e A\cap B tem \#(A\cap B) elementos, então
P(A\mid B)=\frac{\#(A\cap B)}{\#B}.
Para a letra (b) o evento condicionado é “ser não fumante” que tem \#(nF)=120. Vou usar contagens diretamente.
Cálculo de P(H\mid nF) (probabilidade de ser homem entre os não fumantes):
P(H\mid nF)=\frac{\#(H\cap nF)}{\#(nF)}=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}=0,25.
Cálculo de P(M\mid nF) (probabilidade de ser mulher entre os não fumantes):
P(M\mid nF)=\frac{\#(M\cap nF)}{\#(nF)}=\frac{90}{120}=\frac{3}{4}=0,75.

Passo 4

Agora calculo as probabilidades condicionais pedidas em (c) usando a definição. Vou mostrar cada uma com a conta.
  1. P(H\mid F) — probabilidade de ser homem dado que é fumante.
P(H\mid F)=\frac{P(H\cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{70}{200}}{\frac{80}{200}}=\frac{70}{80}=\frac{7}{8}=0,875.
  1. P(M\mid F) — probabilidade de ser mulher dado que é fumante.
P(M\mid F)=\frac{P(M\cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{10}{200}}{\frac{80}{200}}=\frac{10}{80}=\frac{1}{8}=0,125.
(Observação rápida: P(H\mid F)+P(M\mid F)=0,875+0,125=1, faz sentido porque entre os fumantes ou é homem ou é mulher.)
  1. P(F\mid M) — probabilidade de ser fumante dado que é mulher.
P(F\mid M)=\frac{P(F\cap M)}{P(M)}=\frac{\frac{10}{200}}{\frac{100}{200}}=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}=0,1.
  1. P(F\mid H) — probabilidade de ser fumante dado que é homem.
P(F\mid H)=\frac{P(F\cap H)}{P(H)}=\frac{\frac{70}{200}}{\frac{100}{200}}=\frac{70}{100}=\frac{7}{10}=0,7.
  1. P(nF\mid M) — probabilidade de ser não fumante dado que é mulher.
P(nF\mid M)=\frac{P(nF\cap M)}{P(M)}=\frac{\frac{90}{200}}{\frac{100}{200}}=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}=0,9.

Passo 5

Resumo intuitivo (para fixar):
  • Metade da empresa é homem e metade mulher.
  • Entre os não fumantes a maioria é mulher (probabilidade 0,75 de ser mulher).
  • Entre os fumantes a grande maioria é homem ( P(H\mid F)=0,875).
    Se você esquecer a fórmula na prova, lembra: para condicionada conte apenas dentro do grupo dado (ex.: entre fumantes, dos 80 quem é homem? 70 — então 70/80).

Resposta

a) P(H)=\frac{100}{200}=\frac{1}{2}=0,5 \n a) P(M)=\frac{100}{200}=\frac{1}{2}=0,5
b) P(H\mid nF)=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}=0,25 \n b) P(M\mid nF)=\frac{90}{120}=\frac{3}{4}=0,75
c) P(H\mid F)=\frac{70}{80}=\frac{7}{8}=0,875 \n c) P(M\mid F)=\frac{10}{80}=\frac{1}{8}=0,125 \n c) P(F\mid M)=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}=0,1 \n c) P(F\mid H)=\frac{70}{100}=\frac{7}{10}=0,7 \n c) P(nF\mid M)=\frac{90}{100}=\frac{9}{10}=0,9

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