Em relação a equação:
(I) A equação não admite solução pois a variável independente está ausente.
(II) A equação admite somente a solução trivial por ser homogênea não linear de segunda ordem.
(III) A substituição
transforma a equação em duas equações de primeira ordem:
e outra equação separável em
e
.
Podemos afirmar que:
a.
Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
b.
Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
c.
Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras
d.
Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
e.
Todas as afirmações são falsas.
(II) A equação admite somente a solução trivial por ser homogênea não linear de segunda ordem.
(III) A substituição
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e apresenta três afirmações para avaliar:
- (I) A afirmação: a equação não admite solução pois a variável independente está ausente.
- (II) A afirmação: a equação admite somente a solução trivial por ser homogênea não linear de segunda ordem.
- (III) A afirmação: a substituição
transforma a equação em duas equações de primeira ordem: e outra equação separável em e .
A pergunta é: quais dessas afirmações são verdadeiras?
Passo 2
Vamos trabalhar a equação e transformar usando a substituição proposta. Primeiro explico uma ferramenta importante: quando aparece
e definimos
, podemos usar a regra da cadeia para trocar a derivada em
por derivada em
. A regra da cadeia nos diz que
Como
, isso dá
Agora substituímos isso na equação original. A equação fica
Colocando de forma clara:
Passo 3
A equação obtida tem um fator comum em
. Antes de dividir por
precisamos considerar o caso
separadamente:
- Se
então , o que implica constante: . Essa é uma solução válida (a solução trivial constante).
Agora suponha
em algum intervalo. Podemos dividir por
e obter
Esta é uma equação linear de primeira ordem em
como função de
, mas também é facilmente resolvida como separável. Reescrevendo:
Integramos ambos os lados. Ao integrar obtemos
onde
é constante de integração. Exponenciando:
com
(constante não nula se
).
Passo 4
Recordando que
, substituímos
e obtemos uma equação separável para
:
Separa e integra:
Integrando ambos os lados:
onde
é outra constante de integração. Multiplicando por 3 e renomeando constantes:
Portanto a família de soluções não-triviais (com
) é
além das soluções constantes
obtidas quando
.
Passo 5
Agora avaliamos as afirmações usando o que acabamos de achar:
-
Sobre (I): falsa. O fato de a variável independente
não aparecer explicitamente nos coeficientes não impede a existência de soluções; pelo contrário, é precisamente essa ausência explícita que permite a redução pela substituição . Encontramos soluções explícitas (constantes e não-constantes), então a afirmação de que “não admite solução” é errada. -
Sobre (II): falsa. A equação admite soluções não-triviais além da solução constante. Ser uma equação homogênea não linear de segunda ordem não implica que só exista a solução trivial; no nosso caso existem famílias de soluções não-constantes
. -
Sobre (III): verdadeira. A substituição
leva realmente a duas equações de primeira ordem: e a equação entre e
que pode ser reduzida a uma equação separável/linear em
e
. Portanto (III) é correta.
Passo 6
Conclusão: apenas a afirmação (III) é verdadeira.
Resposta
(a)