Em relação a equação:
y y^{\prime \prime}+2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0
(I) A equação não admite solução pois a variável independente está ausente.
(II) A equação admite somente a solução trivial por ser homogênea não linear de segunda ordem.
(III) A substituição u=y^{\prime}=\frac{d y}{d x} transforma a equação em duas equações de primeira ordem: u=\frac{d y}{d x} e outra equação separável em u e y.
Podemos afirmar que:
a. \bigcirc Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
b. \bigcirc Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
c. \bigcirc Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras
d. \bigcirc Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
e. \bigcirc Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\,y^{\prime\prime}+2\left(y^{\prime}\right)^{2}=0
e apresenta três afirmações para avaliar:
  • (I) A afirmação: a equação não admite solução pois a variável independente está ausente.
  • (II) A afirmação: a equação admite somente a solução trivial por ser homogênea não linear de segunda ordem.
  • (III) A afirmação: a substituição u=y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} transforma a equação em duas equações de primeira ordem: u=\dfrac{dy}{dx} e outra equação separável em u e y.
A pergunta é: quais dessas afirmações são verdadeiras?

Passo 2

Vamos trabalhar a equação e transformar usando a substituição proposta. Primeiro explico uma ferramenta importante: quando aparece y^{\prime\prime}=\dfrac{d^2 y}{dx^2} e definimos u=\dfrac{dy}{dx}, podemos usar a regra da cadeia para trocar a derivada em x por derivada em y. A regra da cadeia nos diz que
\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}.
Como \dfrac{dy}{dx}=u, isso dá
y^{\prime\prime}=\frac{du}{dx}=u\frac{du}{dy}.
Agora substituímos isso na equação original. A equação fica
y\left(u\frac{du}{dy}\right)+2u^{2}=0.
Colocando de forma clara:
y\,u\frac{du}{dy}+2u^{2}=0.

Passo 3

A equação obtida tem um fator comum em u. Antes de dividir por u precisamos considerar o caso u=0 separadamente:
  • Se u\equiv 0 então \dfrac{dy}{dx}=0, o que implica y constante: y=C. Essa é uma solução válida (a solução trivial constante).
Agora suponha u\neq 0 em algum intervalo. Podemos dividir por u e obter
y\frac{du}{dy}+2u=0.
Esta é uma equação linear de primeira ordem em u como função de y, mas também é facilmente resolvida como separável. Reescrevendo:
\frac{du}{u}=-2\frac{dy}{y}.
Integramos ambos os lados. Ao integrar obtemos
\ln|u|=-2\ln|y|+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
u=C_{1}y^{-2},
com C_{1}=e^{C} (constante não nula se u\neq0).

Passo 4

Recordando que u=\dfrac{dy}{dx}, substituímos u=C_{1}y^{-2} e obtemos uma equação separável para y(x):
\frac{dy}{dx}=C_{1}y^{-2}.
Separa e integra:
y^{2}dy=C_{1}dx.
Integrando ambos os lados:
\frac{1}{3}y^{3}=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Multiplicando por 3 e renomeando constantes:
y^{3}=3C_{1}x+C_{3}.
Portanto a família de soluções não-triviais (com u\neq0) é
y(x)=\bigl(3C_{1}x+C_{3}\bigr)^{1/3},
além das soluções constantes y(x)=C obtidas quando u\equiv0.

Passo 5

Agora avaliamos as afirmações usando o que acabamos de achar:
  • Sobre (I): falsa. O fato de a variável independente x não aparecer explicitamente nos coeficientes não impede a existência de soluções; pelo contrário, é precisamente essa ausência explícita que permite a redução pela substituição u=y'. Encontramos soluções explícitas (constantes e não-constantes), então a afirmação de que “não admite solução” é errada.
  • Sobre (II): falsa. A equação admite soluções não-triviais além da solução constante. Ser uma equação homogênea não linear de segunda ordem não implica que só exista a solução trivial; no nosso caso existem famílias de soluções não-constantes y(x)=\bigl(3C_{1}x+C_{3}\bigr)^{1/3}.
  • Sobre (III): verdadeira. A substituição u=y^{\prime} leva realmente a duas equações de primeira ordem: u=\dfrac{dy}{dx} e a equação entre u e y
y\,u\frac{du}{dy}+2u^{2}=0,
que pode ser reduzida a uma equação separável/linear em u e y. Portanto (III) é correta.

Passo 6

Conclusão: apenas a afirmação (III) é verdadeira.

Resposta

(a)

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