Uma escola organiza um torneio de xadrez e deseja formar uma equipe de 5 jogadores a partir de um grupo de 12 alunos. Se a equipe de 5 jogadores deve incluir pelo menos 2 meninas e o grupo de 12 alunos contém 7 meninos e 5 meninas, a quantidade de maneiras diferentes que se pode formar a equipe é de
(A) 596
(B) 410
(C) 350
(D) 520
(A) 596
(B) 410
(C) 350
(D) 520
Passo 1
Vou explicitar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Há
alunos no grupo. - Desses,
são meninos e são meninas. - A equipe deve ter
jogadores. - A equipe deve incluir pelo menos
meninas.
- Há
-
O que o enunciado pede:
- Contar de quantas maneiras diferentes é possível formar a equipe de
jogadores obedecendo à condição “pelo menos meninas”.
- Contar de quantas maneiras diferentes é possível formar a equipe de
Passo 2
Ideia de contagem (explicação didática):
- “Pelo menos
meninas” significa que a equipe pode ter exatamente , , ou meninas. Vamos contar cada caso e somar. - Para um caso fixo com
meninas (e, portanto, meninos), usamos a regra do produto: escolhemos meninas entre as disponíveis e escolhemos meninos entre os disponíveis. O número de escolhas é o produto dessas quantidades. - Para contar escolhas do tipo "escolher
de " usamos coeficientes binomiais, que representam combinações sem ordem. Vou lembrar a fórmula e mostrar como calcular sem calculadora.
Passo 3
Fórmula de combinação e como calcular:
- O número de maneiras de escolher
elementos entre é denotado por e vale
onde
(lê-se "fatorial de
") é o produto
.
- Exemplo prático de simplificação: para calcular
faz-se
porque os termos
do denominador cancelam com parte do numerador.
Agora calculemos cada caso
:
-
Caso
(exatamente meninas e meninos): Calculemos separadamente:Produto: -
Caso
(exatamente meninas e meninos):
Produto:
- Caso
(exatamente meninas e menino):
Produto:
- Caso
(exatamente meninas e meninos):
Produto:
Passo 4
Somando todas as possibilidades válidas:
Verificação rápida por complemento (opcional, para ganhar confiança):
- Total de equipes sem restrição:
. - Equipes com menos que
meninas são as com ou menina: -
meninas: -
menina: - Soma:
-
- Complemento:
, bate com o resultado anterior.
Passo 5
Interpretação final e incentivo:
- Portanto existem
maneiras diferentes de formar a equipe de com pelo menos meninas. - Mandou bem por procurar a resolução passo a passo — é exatamente esse tipo de raciocínio por casos que cai muito em prova. Respira, confia e repete estes cálculos algumas vezes que entra na cabeça.
Resposta
(A) 596