Uma escola organiza um torneio de xadrez e deseja formar uma equipe de 5 jogadores a partir de um grupo de 12 alunos. Se a equipe de 5 jogadores deve incluir pelo menos 2 meninas e o grupo de 12 alunos contém 7 meninos e 5 meninas, a quantidade de maneiras diferentes que se pode formar a equipe é de
(A) 596
(B) 410
(C) 350
(D) 520

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • 12 alunos no grupo.
    • Desses, 7 são meninos e 5 são meninas.
    • A equipe deve ter 5 jogadores.
    • A equipe deve incluir pelo menos 2 meninas.
  • O que o enunciado pede:
    • Contar de quantas maneiras diferentes é possível formar a equipe de 5 jogadores obedecendo à condição “pelo menos 2 meninas”.

Passo 2

Ideia de contagem (explicação didática):
  • “Pelo menos 2 meninas” significa que a equipe pode ter exatamente 2, 3, 4 ou 5 meninas. Vamos contar cada caso e somar.
  • Para um caso fixo com k meninas (e, portanto, 5-k meninos), usamos a regra do produto: escolhemos k meninas entre as 5 disponíveis e escolhemos 5-k meninos entre os 7 disponíveis. O número de escolhas é o produto dessas quantidades.
  • Para contar escolhas do tipo "escolher k de n" usamos coeficientes binomiais, que representam combinações sem ordem. Vou lembrar a fórmula e mostrar como calcular sem calculadora.

Passo 3

Fórmula de combinação e como calcular:
  • O número de maneiras de escolher k elementos entre n é denotado por \displaystyle \binom{n}{k} e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se "fatorial de n") é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
  • Exemplo prático de simplificação: para calcular \displaystyle \binom{7}{3} faz-se
\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35,
porque os termos 4\cdot3\cdot2\cdot1 do denominador cancelam com parte do numerador.
Agora calculemos cada caso k=2,3,4,5:
  • Caso k=2 (exatamente 2 meninas e 3 meninos):
    \binom{5}{2}\cdot\binom{7}{3}.
    Calculemos separadamente:
    \binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10, \qquad \binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35.
    Produto:
    10\cdot35=350.
  • Caso k=3 (exatamente 3 meninas e 2 meninos):
    \binom{5}{3}\cdot\binom{7}{2}.
\binom{5}{3}=\binom{5}{2}=10, \qquad \binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21.
Produto:
10\cdot21=210.
  • Caso k=4 (exatamente 4 meninas e 1 menino): \binom{5}{4}\cdot\binom{7}{1}.
\binom{5}{4}=5, \qquad \binom{7}{1}=7.
Produto:
5\cdot7=35.
  • Caso k=5 (exatamente 5 meninas e 0 meninos): \binom{5}{5}\cdot\binom{7}{0}.
\binom{5}{5}=1, \qquad \binom{7}{0}=1.
Produto:
1\cdot1=1.

Passo 4

Somando todas as possibilidades válidas:
350 + 210 + 35 + 1 = 596.
Verificação rápida por complemento (opcional, para ganhar confiança):
  • Total de equipes sem restrição: \displaystyle \binom{12}{5}=792.
  • Equipes com menos que 2 meninas são as com 0 ou 1 menina:
    • 0 meninas: \displaystyle \binom{5}{0}\binom{7}{5} = 1\cdot21=21.
    • 1 menina: \displaystyle \binom{5}{1}\binom{7}{4} = 5\cdot35=175.
    • Soma: 21+175=196.
  • Complemento: 792-196=596, bate com o resultado anterior.

Passo 5

Interpretação final e incentivo:
  • Portanto existem 596 maneiras diferentes de formar a equipe de 5 com pelo menos 2 meninas.
  • Mandou bem por procurar a resolução passo a passo — é exatamente esse tipo de raciocínio por casos que cai muito em prova. Respira, confia e repete estes cálculos algumas vezes que entra na cabeça.

Resposta

(A) 596

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