Uma das raízes de uma equação do 2^{\circ} grau é o triplo da outra. Sabendo que a soma dessas raízes é 28 e que o produto entre elas é 147 . Essa equação do 2^{\circ} grau é igual a
(A) x^{2}-28 x+147=0
(B) x^{2}-28 x-147=0
(C) x^{2}+28 x+147=0
(D) x^{2}-21 x-147=0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informações dadas:
    • Uma das raízes é o triplo da outra.
    • A soma das raízes é 28.
    • O produto das raízes é 147.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) é a equação do 2.º grau que tem essas raízes.

Passo 2

Escolher variáveis para as raízes (isso deixa as contas organizadas). Seja \alpha a menor raiz e 3\alpha a outra (pois uma é o triplo da outra). Assim as duas raízes são:
\alpha \quad\text{e}\quad 3\alpha.

Passo 3

Usar a informação sobre a soma das raízes. A soma das raízes é dada como 28, então:
\alpha + 3\alpha = 28.
Somando o lado esquerdo:
4\alpha = 28.
Agora resolver para \alpha: dividir ambos os lados por 4,
\alpha = \frac{28}{4} = 7.
Portanto as raízes são \alpha=7 e 3\alpha=21.

Passo 4

Verificar a informação do produto para conferir que as raízes encontradas batem com o enunciado. O produto das raízes deve ser 147. Calcular:
7 \cdot 21 = 147.
A conta confere com o enunciado, então as raízes corretas são \;7 e \;21.

Passo 5

Relembrar (e ensinar) como construir a equação do 2.º grau a partir das raízes.
Se as raízes de uma equação quadrática são r_1 e r_2 e o polinômio é monico (coeficiente de x^2 igual a 1), então a equação pode ser escrita como
(x - r_1)(x - r_2) = 0.
Expandindo esse produto obtemos a forma padrão
x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2 = 0,
onde r_1 + r_2 é a soma das raízes e r_1 r_2 é o produto das raízes. Essa identidade vem de multiplicar os dois fatores e agrupar termos semelhantes.

Passo 6

Aplicar a fórmula com r_1=7 e r_2=21. Substituindo soma 7+21=28 e produto 7\cdot21=147 na forma padrão:
x^2 - (28)x + 147 = 0.
Podemos também verificar expandindo (x-7)(x-21):
(x-7)(x-21)=x^2-21x-7x+147=x^2-28x+147.

Resposta

(A) x^{2}-28 x+147=0

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