Uma das raízes de uma equação do
grau é o triplo da outra. Sabendo que a soma dessas raízes é 28 e que o produto entre elas é 147 . Essa equação do
grau é igual a
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Informações dadas:
- Uma das raízes é o triplo da outra.
- A soma das raízes é
. - O produto das raízes é
.
- O que o enunciado pede:
- Determinar qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) é a equação do 2.º grau que tem essas raízes.
Passo 2
Escolher variáveis para as raízes (isso deixa as contas organizadas). Seja
a menor raiz e
a outra (pois uma é o triplo da outra). Assim as duas raízes são:
Passo 3
Usar a informação sobre a soma das raízes. A soma das raízes é dada como
, então:
Somando o lado esquerdo:
Agora resolver para
: dividir ambos os lados por
,
Portanto as raízes são
e
.
Passo 4
Verificar a informação do produto para conferir que as raízes encontradas batem com o enunciado. O produto das raízes deve ser
. Calcular:
A conta confere com o enunciado, então as raízes corretas são
e
.
Passo 5
Relembrar (e ensinar) como construir a equação do 2.º grau a partir das raízes.
Se as raízes de uma equação quadrática são e
e o polinômio é monico (coeficiente de
igual a
), então a equação pode ser escrita como
Se as raízes de uma equação quadrática são
Expandindo esse produto obtemos a forma padrão
onde
é a soma das raízes e
é o produto das raízes. Essa identidade vem de multiplicar os dois fatores e agrupar termos semelhantes.
Passo 6
Aplicar a fórmula com
e
. Substituindo soma
e produto
na forma padrão:
Podemos também verificar expandindo
:
Resposta
(A)