Questão 2 - Juros
Joseph ganhou R 350.000,00 de herança de seu avô, e pretende usar esse dinheiro para auxiliar em sua renda mensal Para isso e<= irá aplicar essa quantia em um banco que oferece uma taxa de juros de çôá1 %$ ao mês e fazer saques mensais de 100t, onde t é o número de meses desde o início da aplicação. Nessas condições, podemos dizer que essa herança ainda irá auxiliá-lo por, aproximadamente, quantos anos?

Passo 1

O exercício pede para descobrir em quantos meses (depois convertemos em anos) o saldo da aplicação acaba, sabendo que temos juros compostos de 1% ao mês e saques mensais que crescem linearmente (100·t, com t em meses). O assunto é juros compostos com retiradas periódicas, e vamos precisar montar a recorrência do saldo e depois achar a fórmula fechada para zerar o saldo.

Passo 2

Vamos chamar de B₀=350 000 o capital inicial e i=0,01 a taxa mensal. Em cada mês t o saldo obedece à fórmula de recorrência:
Esse tipo de recorrência aparece em aplicações com retirada ao final de cada período.

Passo 3

Para resolver de forma fechada, usamos que
Aqui aplicamos a soma de uma progressão aritmético-geométrica.

Passo 4

A soma dentro do parênteses é (para r=1+i):
Substituindo r=1,01 e B₀=350 000, obtemos:

Passo 5

Para achar quando B_n=0, simplificamos a equação e chegamos a:
Essa é uma equação transcendental que a gente resolve por tentativa até achar n.

Passo 6

Testando valores de n (em meses) por interpolação, encontramos n≈123,5 meses. Aí é só converter em anos dividindo por 12.

Passo 7

Convertendo para anos:
Ou seja, a herança dura cerca de 10,3 anos.

Resposta

A herança vai durar aproximadamente 10,3 anos.

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