Questão 2 - Juros
Joseph ganhou
350.000,00
1 %$ ao mês e fazer saques mensais de 100t, onde t é o número de meses desde o início da aplicação. Nessas condições, podemos dizer que essa herança ainda irá auxiliá-lo por, aproximadamente, quantos anos?
Joseph ganhou
Passo 1
O exercício pede para descobrir em quantos meses (depois convertemos em anos) o saldo da aplicação acaba, sabendo que temos juros compostos de 1% ao mês e saques mensais que crescem linearmente (100·t, com t em meses). O assunto é juros compostos com retiradas periódicas, e vamos precisar montar a recorrência do saldo e depois achar a fórmula fechada para zerar o saldo.
Passo 2
Vamos chamar de B₀=350 000 o capital inicial e i=0,01 a taxa mensal. Em cada mês t o saldo obedece à fórmula de recorrência:
Esse tipo de recorrência aparece em aplicações com retirada ao final de cada período.
Passo 3
Para resolver de forma fechada, usamos que
Aqui aplicamos a soma de uma progressão aritmético-geométrica.
Passo 4
A soma dentro do parênteses é (para r=1+i):
Substituindo r=1,01 e B₀=350 000, obtemos:
Passo 5
Para achar quando B_n=0, simplificamos a equação e chegamos a:
Essa é uma equação transcendental que a gente resolve por tentativa até achar n.
Passo 6
Testando valores de n (em meses) por interpolação, encontramos n≈123,5 meses. Aí é só converter em anos dividindo por 12.
Passo 7
Convertendo para anos:
Ou seja, a herança dura cerca de 10,3 anos.
Resposta
A herança vai durar aproximadamente 10,3 anos.