Utilize o método da questão 4 para encontrar a solução geral das equações abaixo.
y^prime=r y-k y^2, r>0 e k>0. Esta equação é importante em dinâmica populacional.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação logística
y' = r,y - k,y^2, r>0,;k>0,
um caso clássico de equação de Bernoulli. Vamos transformar essa equação num problema linear usando a troca de variável própria de Bernoulli e depois voltar a y.

Passo 2

Dividimos toda a equação por y^2 (supondo yneq0) para encaixar na forma de Bernoulli:
y'y^2 - r,yy^2 = -k Longrightarrow y^-2y' - r,y^-1 = -k
Reconhecemos que y^-2y' = -ddt(y^-1). Então definimos
z = y^-1
Isso transforma a equação em uma equação linear em z.

Passo 3

Como z = y^-1, temos
z' = -y^-2y' Longrightarrow -y^-2y' = z'
Substituindo em y^-2y' - r,y^-1 = -k, obtemos
-,z' - r,z = -k Longrightarrow z' + r,z = k
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 4

Para resolver
z' + r,z = k,
usamos fator integrante mu(t)=e^integral r,dt=e^rt. Multiplicando por mu:
e^rtz' + r,e^rtz = k,e^rt Longrightarrow ddtl(e^rtzr)=k,e^rt
Integramos em t:
e^rtz = integral k,e^rt,dt = kr,e^rt + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando z e voltando a y:
z = kr + C,e^-rt, y = 1z = 1 kr + C,e^-rt = rk + r,C,e^-rt
Como C é arbitrário, podemos renomear D = r,C e escrever mais simplesmente:
y(t) = rk + D,e^-rt,
com D constante.

Resposta

A solução geral da equação logística y' = r,y - k,y^2 é
y(t) = rk + D,e^-r t,
onde D é constante arbitrária determinada pela condição inicial.

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