Utilize o método da questão 4 para encontrar a solução geral das equações abaixo.
e
. Esta equação é importante em dinâmica populacional.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação logística
um caso clássico de equação de Bernoulli. Vamos transformar essa equação num problema linear usando a troca de variável própria de Bernoulli e depois voltar a
.
Passo 2
Dividimos toda a equação por
(supondo
) para encaixar na forma de Bernoulli:
Reconhecemos que
. Então definimos
Isso transforma a equação em uma equação linear em
.
Passo 3
Como
, temos
Substituindo em
, obtemos
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 4
Para resolver
usamos fator integrante
. Multiplicando por
:
Integramos em
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Isolando
e voltando a
:
Como
é arbitrário, podemos renomear
e escrever mais simplesmente:
com
constante.
Resposta
A solução geral da equação logística
é
onde
é constante arbitrária determinada pela condição inicial.