Calcule as derivadas das seguintes funçães.
(b) f(x)=x(x^2-1)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = xl(x^2-1r)^4,
então vamos usar as regras de diferenciação: convém reescrever a função para aplicar produto e cadeia.

Passo 2

Reescrevendo em forma de produto, temos
f(x) = x , (x^2-1)^-4
Aqui u(x)=x e v(x)=(x^2-1)^-4.

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Sabemos que u'(x)=1. Falta calcular v'(x) usando a regra da cadeia.

Passo 4

Para v(x)=(x^2-1)^-4, a regra da cadeia dá
v'(x) = -4,(x^2-1)^-5cdot ddx(x^2-1) = -4,(x^2-1)^-5cdot 2x = -8x,(x^2-1)^-5
Substituindo em f'(x):
f'(x) = (x^2-1)^-4 + xl(-8x,(x^2-1)^-5r) = (x^2-1)^-4 ;-; 8x^2,(x^2-1)^-5

Passo 5

Agora fatoramos (x^2-1)^-5:
f'(x) = (x^2-1)^-5l[(x^2-1) - 8x^2r] = (x^2-1)^-5l(-7x^2-1r) = -,(7x^2+1),(x^2-1)^-5

Resposta

f'(x) = -7x^2+1(x^2-1)^5

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