Em uma escola técnica com 200 estudantes, foi feita uma pesquisa sobre o uso de três aplicativos de estudo: A, B e C. Os resultados foram:
  • 120 estudantes utilizam o aplicativo A.
  • 70 utilizam A e B.
  • 110 utilizam o aplicativo B .
  • 60 utilizam A e C.
  • 90 utilizam o aplicativo C.
  • 50 utilizam B e C.
Sabe-se ainda que todo estudante utiliza pelo menos um dos três aplicativos. Quantos estudantes utilizam:
(a) ( 1 pt) os três aplicativos?
(b) ( 1 pt) exatamente dois aplicativos?
(c) (1 pt) exatamente um aplicativo?

Passo 1

Dados fornecidos (peguei todos os números do enunciado):
  • Total de estudantes: 200.
  • Número de estudantes que usam o aplicativo A: |A|=120.
  • Número que usam B: |B|=110.
  • Número que usam C: |C|=90.
  • Número que usam A e B: |A\cap B|=70.
  • Número que usam A e C: |A\cap C|=60.
  • Número que usam B e C: |B\cap C|=50.
  • Informação extra: todo estudante usa pelo menos um dos três aplicativos, isto é, |A\cup B\cup C|=200.
O enunciado pergunta:
(a) quantos utilizam os três aplicativos;
(b) quantos utilizam exatamente dois aplicativos;
(c) quantos utilizam exatamente um aplicativo.

Passo 2

Vamos entender a fórmula que liga todas essas quantidades — ela é essencial e fácil de lembrar depois que a gente explica direitinho.
A fórmula de contagem para a união de três conjuntos (inclusão-exclusão) diz:
|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|.
O que cada termo significa:
  • |A|,|B|,|C| são os que estão em cada aplicativo (contando quem está em interseções também).
  • Subtrai-se |A\cap B|,|A\cap C|,|B\cap C| porque quem está em duas listas foi contado duas vezes nas somas anteriores.
  • Como quem está nos três foi subtraído três vezes nas subtrações, precisa ser somado de volta uma vez (por isso o +|A\cap B\cap C| no final).
No problema a incógnita natural é x=|A\cap B\cap C|, o número que usamos nos três. Vamos usar a fórmula para resolver x.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números dados:
200 = 120 + 110 + 90 - 70 - 60 - 50 + x.
Agora calculo passo a passo:
120 + 110 + 90 = 320,
70 + 60 + 50 = 180,
logo
200 = 320 - 180 + x = 140 + x.
Isolando x:
x = 200 - 140 = 60.
Portanto, a aplicação direta da fórmula dá |A\cap B\cap C| = 60.

Passo 4

Agora vamos calcular quantos usam exatamente dois aplicativos. Para entender isso, defino:
  • ab = número que usam exatamente A e B, mas não C.
  • ac = número que usam exatamente A e C, mas não B.
  • bc = número que usam exatamente B e C, mas não A.
Relacionamento entre esses e as interseções totais:
|A\cap B| = ab + x,
|A\cap C| = ac + x,
|B\cap C| = bc + x,
pois cada interseção par contém também os que usam os três ( x).
Logo:
ab = |A\cap B| - x, \qquad ac = |A\cap C| - x, \qquad bc = |B\cap C| - x.
Substituindo x=60:
ab = 70 - 60 = 10,
ac = 60 - 60 = 0,
bc = 50 - 60 = -10.
Aqui surge um problema: obtemos bc=-10. Isso é impossível na interpretação do problema, porque um número de pessoas não pode ser negativo. Em termos conceituais: o número de pessoas que usam os três aplicativos não pode ser maior que o número de pessoas que usam qualquer par desses aplicativos. Ou seja, x não pode exceder |B\cap C|, |A\cap B| ou |A\cap C|. Mas com os números dados temos x=60 que é maior que |B\cap C|=50, causando a contradição.
Isso indica que os dados fornecidos são inconsistentes entre si: não existe uma distribuição inteiramente não-negativa de estudantes nos oito possíveis padrões de uso (só A, só B, só C, A∩B apenas, A∩C apenas, B∩C apenas, A∩B∩C, nenhum) que satisfaça todos os números dados simultaneamente.

Passo 5

Mesmo com a inconsistência, para ver o que a aritmética formal produziria (mas repetindo: um dos valores fica negativo, o que mostra a impossibilidade prática), calculamos:
Número de estudantes que usam exatamente dois aplicativos é
ab + ac + bc = 10 + 0 + (-10) = 0,
(porém esse valor veio usando bc=-10, que é impossível na realidade).
Agora calculamos quantos usam exatamente um aplicativo. Para isso usamos a decomposição por conjuntos exclusivos:
Sejam a, b, c os números que usam somente A, somente B e somente C, respectivamente. Então
a = |A| - (ab + ac + x),
b = |B| - (ab + bc + x),
c = |C| - (ac + bc + x).
Substituindo os valores já obtidos (incluindo o bc=-10, que é inválido):
a = 120 - (10 + 0 + 60) = 120 - 70 = 50,
b = 110 - (10 + (-10) + 60) = 110 - 60 = 50,
c = 90 - (0 + (-10) + 60) = 90 - 50 = 40.
Então a soma dos que usam exatamente um seria a+b+c = 50 + 50 + 40 = 140. Note que com esses números (embora um deles venha de um valor negativo) a conta fecha: exatamente um = 140, exatamente dois = 0, todos os três =60, e 140+0+60=200. Mas isso não resolve o problema lógico: um dos componentes intermediários ( bc) é negativo, o que torna a distribuição impossível na prática.

Passo 6

  • A aplicação direta da fórmula de inclusão-exclusão dá que |A\cap B\cap C| = 60.
  • No entanto, esse valor contradiz o dado |B\cap C|=50 porque a interseção dos três não pode ser maior que qualquer interseção par. Logo, os dados do enunciado são inconsistentes: não existe uma distribuição válida de estudantes que satisfaça todos os números fornecidos simultaneamente.
  • Consequentemente, não é possível dar valores não-negativos e coerentes para “exatamente dois” e “exatamente um” usando os números fornecidos, sem corrigir algum dado do enunciado (por exemplo, aumentar |B\cap C| ou reduzir x etc.).

Resposta

(a) 60
(b) Impossível — dados inconsistentes (obtém-se um valor negativo para um dos pares)
(c) Impossível — dados inconsistentes (não existe distribuição não-negativa compatível com todos os números fornecidos)

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