Em uma escola técnica com 200 estudantes, foi feita uma pesquisa sobre o uso de três aplicativos de estudo: A, B e C. Os resultados foram:
- 120 estudantes utilizam o aplicativo A.
- 70 utilizam A e B.
- 110 utilizam o aplicativo B .
- 60 utilizam A e C.
- 90 utilizam o aplicativo C.
- 50 utilizam B e C.
Sabe-se ainda que todo estudante utiliza pelo menos um dos três aplicativos. Quantos estudantes utilizam:
(a) ( 1 pt) os três aplicativos?
(b) ( 1 pt) exatamente dois aplicativos?
(c) (1 pt) exatamente um aplicativo?
(a) ( 1 pt) os três aplicativos?
(b) ( 1 pt) exatamente dois aplicativos?
(c) (1 pt) exatamente um aplicativo?
Passo 1
Dados fornecidos (peguei todos os números do enunciado):
- Total de estudantes:
. - Número de estudantes que usam o aplicativo
: . - Número que usam
: . - Número que usam
: . - Número que usam
e : . - Número que usam
e : . - Número que usam
e : . - Informação extra: todo estudante usa pelo menos um dos três aplicativos, isto é,
.
O enunciado pergunta:
(a) quantos utilizam os três aplicativos;
(b) quantos utilizam exatamente dois aplicativos;
(c) quantos utilizam exatamente um aplicativo.
(a) quantos utilizam os três aplicativos;
(b) quantos utilizam exatamente dois aplicativos;
(c) quantos utilizam exatamente um aplicativo.
Passo 2
Vamos entender a fórmula que liga todas essas quantidades — ela é essencial e fácil de lembrar depois que a gente explica direitinho.
A fórmula de contagem para a união de três conjuntos (inclusão-exclusão) diz:
O que cada termo significa:
-
são os que estão em cada aplicativo (contando quem está em interseções também). - Subtrai-se
porque quem está em duas listas foi contado duas vezes nas somas anteriores. - Como quem está nos três foi subtraído três vezes nas subtrações, precisa ser somado de volta uma vez (por isso o
no final).
No problema a incógnita natural é
, o número que usamos nos três. Vamos usar a fórmula para resolver
.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os números dados:
Agora calculo passo a passo:
logo
Isolando
:
Portanto, a aplicação direta da fórmula dá
.
Passo 4
Agora vamos calcular quantos usam exatamente dois aplicativos. Para entender isso, defino:
-
= número que usam exatamente e , mas não . -
= número que usam exatamente e , mas não . -
= número que usam exatamente e , mas não .
Relacionamento entre esses e as interseções totais:
pois cada interseção par contém também os que usam os três (
).
Logo:
Substituindo
:
Aqui surge um problema: obtemos
. Isso é impossível na interpretação do problema, porque um número de pessoas não pode ser negativo. Em termos conceituais: o número de pessoas que usam os três aplicativos não pode ser maior que o número de pessoas que usam qualquer par desses aplicativos. Ou seja,
não pode exceder
,
ou
. Mas com os números dados temos
que é maior que
, causando a contradição.
Isso indica que os dados fornecidos são inconsistentes entre si: não existe uma distribuição inteiramente não-negativa de estudantes nos oito possíveis padrões de uso (só A, só B, só C, A∩B apenas, A∩C apenas, B∩C apenas, A∩B∩C, nenhum) que satisfaça todos os números dados simultaneamente.
Passo 5
Mesmo com a inconsistência, para ver o que a aritmética formal produziria (mas repetindo: um dos valores fica negativo, o que mostra a impossibilidade prática), calculamos:
Número de estudantes que usam exatamente dois aplicativos é
(porém esse valor veio usando
, que é impossível na realidade).
Agora calculamos quantos usam exatamente um aplicativo. Para isso usamos a decomposição por conjuntos exclusivos:
Sejam ,
,
os números que usam somente
, somente
e somente
, respectivamente. Então
Sejam
Substituindo os valores já obtidos (incluindo o
, que é inválido):
Então a soma dos que usam exatamente um seria
. Note que com esses números (embora um deles venha de um valor negativo) a conta fecha: exatamente um
140, exatamente dois
0, todos os três
, e
. Mas isso não resolve o problema lógico: um dos componentes intermediários (
) é negativo, o que torna a distribuição impossível na prática.
Passo 6
- A aplicação direta da fórmula de inclusão-exclusão dá que
. - No entanto, esse valor contradiz o dado
porque a interseção dos três não pode ser maior que qualquer interseção par. Logo, os dados do enunciado são inconsistentes: não existe uma distribuição válida de estudantes que satisfaça todos os números fornecidos simultaneamente. - Consequentemente, não é possível dar valores não-negativos e coerentes para “exatamente dois” e “exatamente um” usando os números fornecidos, sem corrigir algum dado do enunciado (por exemplo, aumentar
ou reduzir etc.).
Resposta
(a)
(b) Impossível — dados inconsistentes (obtém-se um valor negativo para um dos pares)
(c) Impossível — dados inconsistentes (não existe distribuição não-negativa compatível com todos os números fornecidos)
(b) Impossível — dados inconsistentes (obtém-se um valor negativo para um dos pares)
(c) Impossível — dados inconsistentes (não existe distribuição não-negativa compatível com todos os números fornecidos)