( 1 pt ) Determine a 7^{\mathrm{a}} parcela do desenvolvimento do binômio de Newton (2+x)^{10}.

Passo 1

O enunciado pede a sétima parcela (7ª parcela) do desenvolvimento do binômio (2+x)^{10}. As informações dadas são:
  • A expressão a desenvolver é (2+x)^{10}.
  • Quer-se a 7ª parcela do desenvolvimento (ou seja, o 7º termo da expansão).

Passo 2

Lembrete do Teorema do Binômio (embaixo, explicadinho): para n inteiro não negativo e constantes a e b,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (combinação) e representa o número de formas de escolher k elementos de n. A fórmula de \binom{n}{k} é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! significa fatorial de n (por exemplo, 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1). Na prática de prova, muitas vezes calculamos \binom{n}{k} fazendo cancelamentos em produtos em vez de escrever todos os fatoriais.

Passo 3

Precisamos relacionar “7ª parcela” com o índice k da soma. O termo geral para a posição r-ésima é
T_{r}=\binom{n}{r-1}a^{\,n-(r-1)}b^{\,r-1}.
Logo, para a 7ª parcela tomamos r=7, o que corresponde a k=r-1=6.
No nosso caso: n=10, a=2 e b=x. Portanto a 7ª parcela é
T_{7}=\binom{10}{6}2^{\,10-6}x^{6}=\binom{10}{6}2^{4}x^{6}.

Passo 4

Calcular \binom{10}{6}. Podemos usar a simetria \binom{10}{6}=\binom{10}{4} e calcular \binom{10}{4} de forma direta:
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Agora calcular passo a passo:
  • 10\cdot9\cdot8\cdot7 = 5040.
  • 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.
  • Dividindo: \dfrac{5040}{24}=210.
Portanto \binom{10}{6}=210.

Passo 5

Calcular 2^{4}:
2^{4}=16.
Multiplicar o coeficiente binomial por 2^{4}:
210\cdot16.
Fazendo a conta:
210\cdot16=210\cdot(10+6)=2100+1260=3360.

Passo 6

Portanto a 7ª parcela é
T_{7}=3360\,x^{6}.
Dica rápida para a prova: identifique sempre se a constante está no primeiro ou segundo termo (aqui a=2, b=x), e lembre que o expoente de x no termo r é r-1. Isso evita confusão na hora.

Resposta

3360x^{6}

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