( 1 pt ) Determine a
parcela do desenvolvimento do binômio de Newton
.
Passo 1
O enunciado pede a sétima parcela (7ª parcela) do desenvolvimento do binômio
. As informações dadas são:
- A expressão a desenvolver é
. - Quer-se a 7ª parcela do desenvolvimento (ou seja, o 7º termo da expansão).
Passo 2
Lembrete do Teorema do Binômio (embaixo, explicadinho): para
inteiro não negativo e constantes
e
,
Aqui
é o coeficiente binomial (combinação) e representa o número de formas de escolher
elementos de
. A fórmula de
é
onde
significa fatorial de
(por exemplo,
). Na prática de prova, muitas vezes calculamos
fazendo cancelamentos em produtos em vez de escrever todos os fatoriais.
Passo 3
Precisamos relacionar “7ª parcela” com o índice
da soma. O termo geral para a posição
-ésima é
Logo, para a 7ª parcela tomamos
, o que corresponde a
.
No nosso caso:
,
e
. Portanto a 7ª parcela é
Passo 4
Calcular
. Podemos usar a simetria
e calcular
de forma direta:
Agora calcular passo a passo:
-
. -
. - Dividindo:
.
Portanto
.
Passo 5
Calcular
:
Multiplicar o coeficiente binomial por
:
Fazendo a conta:
Passo 6
Portanto a 7ª parcela é
Dica rápida para a prova: identifique sempre se a constante está no primeiro ou segundo termo (aqui
,
), e lembre que o expoente de
no termo
é
. Isso evita confusão na hora.