(1 pt) Quantas parcelas possui o desenvolvimento do binômio de Newton
?
Passo 1
O enunciado dá o binômio
e pergunta quantas parcelas (termos) tem o desenvolvimento desse binômio.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A expressão é
. - Precisa-se contar o número de parcelas no desenvolvimento expandido.
Passo 2
Vamos lembrar a forma geral do Teorema do Binômio (forma que vou usar para contar termos). Para todo inteiro não-negativo
vale:
Explicando cada parte dessa fórmula:
-
é o expoente do binômio (aqui ). - A soma
indica que percorre os valores inteiros de até inclusive. -
é o coeficiente binomial, que é dado por
onde
(fatorial de
) significa
.
- O termo genérico é
. Para cada distinto obtemos uma potência diferente de (de até ), logo termos distintos.
Passo 3
Agora a observação chave para contar parcelas: o índice
assume exatamente os valores
. Isso são
valores distintos. Cada valor de
produz um termo com potência distinta de
(ou de
), portanto não há combinação de termos que reduza a quantidade — no desenvolvimento aparecem exatamente
parcelas. Para fixar a ideia, exemplos pequenos:
-
tem parcelas (que é ). -
tem parcelas (que é ).
Passo 4
Aplicando isso ao caso dado, com
, o número de parcelas é
, ou seja: