(1 pt) Quantas parcelas possui o desenvolvimento do binômio de Newton (x+b)^{20} ?

Passo 1

O enunciado dá o binômio (x+b)^{20} e pergunta quantas parcelas (termos) tem o desenvolvimento desse binômio.
Informações relevantes:
  • A expressão é (x+b)^{20}.
  • Precisa-se contar o número de parcelas no desenvolvimento expandido.

Passo 2

Vamos lembrar a forma geral do Teorema do Binômio (forma que vou usar para contar termos). Para todo inteiro não-negativo n vale:
(x+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}b^{\,k}.
Explicando cada parte dessa fórmula:
  • n é o expoente do binômio (aqui n=20).
  • A soma \sum_{k=0}^{n} indica que k percorre os valores inteiros de 0 até n inclusive.
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot1.
  • O termo genérico é \binom{n}{k}x^{\,n-k}b^{\,k}. Para cada k distinto obtemos uma potência diferente de x (de x^{n} até x^{0}), logo termos distintos.

Passo 3

Agora a observação chave para contar parcelas: o índice k assume exatamente os valores 0,1,2,\dots,n. Isso são n+1 valores distintos. Cada valor de k produz um termo com potência distinta de x (ou de b), portanto não há combinação de termos que reduza a quantidade — no desenvolvimento aparecem exatamente n+1 parcelas. Para fixar a ideia, exemplos pequenos:
  • (x+b)^{2}=x^{2}+2xb+b^{2} tem 3 parcelas (que é 2+1).
  • (x+b)^{3}=x^{3}+3x^{2}b+3xb^{2}+b^{3} tem 4 parcelas (que é 3+1).

Passo 4

Aplicando isso ao caso dado, com n=20, o número de parcelas é n+1, ou seja:
20+1.

Resposta

\,21\\ \text{parcelas}

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