Uma escola tem 400 alunos e deseja estimar a proporção de alunos que praticam algum esporte. A escola deseja um nível de confiança de
e uma margem de erro de 5%. Qual deve ser o tamanho da amostra?
Passo 1
Então, temos um problema onde uma escola com 400 alunos quer descobrir qual a proporção deles que pratica algum esporte. Eles querem ter 95% de confiança nessa estimativa e que o erro seja de no máximo 5%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística voltados para o cálculo do tamanho da amostra necessário.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para estimar uma proporção com um certo nível de confiança e margem de erro, usamos uma fórmula específica. A fórmula básica para o tamanho da amostra $ n $ é:
Onde:
- $ Z $ é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ p $ é a proporção estimada da característica que estamos estudando.
- $ E $ é a margem de erro aceitável.
Passo 3
Vamos identificar cada valor que precisamos:
- Para um nível de confiança de 95%, o valor de $ Z $ é aproximadamente 1,96.
- A proporção $ p $ é dada como 0,5 (ou 50%). Esse valor é usado quando não temos uma estimativa prévia da proporção, pois maximiza a variabilidade, garantindo uma amostra suficientemente grande.
- A margem de erro $ E $ é 0,05 (ou 5%).
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Então, inicialmente, precisaríamos de aproximadamente 385 alunos na amostra.
Passo 5
No entanto, como a população total é finita (400 alunos), precisamos ajustar o tamanho da amostra usando a fórmula de correção para população finita:
Portanto, arredondando, precisamos de uma amostra de aproximadamente 197 alunos.
Resposta
O tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 197 alunos.