Uma escola tem 400 alunos e deseja estimar a proporção de alunos que praticam algum esporte. A escola deseja um nível de confiança de 95 % e uma margem de erro de 5%. Qual deve ser o tamanho da amostra? (0,5)

Passo 1

Então, temos um problema onde uma escola com 400 alunos quer descobrir qual a proporção deles que pratica algum esporte. Eles querem ter 95% de confiança nessa estimativa e que o erro seja de no máximo 5%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística voltados para o cálculo do tamanho da amostra necessário.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para estimar uma proporção com um certo nível de confiança e margem de erro, usamos uma fórmula específica. A fórmula básica para o tamanho da amostra $ n $ é:
n
Onde:
  • $ Z $ é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ p $ é a proporção estimada da característica que estamos estudando.
  • $ E $ é a margem de erro aceitável.

Passo 3

Vamos identificar cada valor que precisamos:
  • Para um nível de confiança de 95%, o valor de $ Z $ é aproximadamente 1,96.
  • A proporção $ p $ é dada como 0,5 (ou 50%). Esse valor é usado quando não temos uma estimativa prévia da proporção, pois maximiza a variabilidade, garantindo uma amostra suficientemente grande.
  • A margem de erro $ E $ é 0,05 (ou 5%).

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula:
n = ( 1,96^2 cdot 0,5 cdot (1 - 0,5)0,05^2 ) = ( 3,8416 cdot 0,250,0025 ) = ( 0,96040,0025 ) = 384,16
Então, inicialmente, precisaríamos de aproximadamente 385 alunos na amostra.

Passo 5

No entanto, como a população total é finita (400 alunos), precisamos ajustar o tamanho da amostra usando a fórmula de correção para população finita:
najustado = n1 + ( n - 1N ) = 3851 + ( 384400 ) = 3851 + 0,96 = 3851,96 approx 196,43
Portanto, arredondando, precisamos de uma amostra de aproximadamente 197 alunos.

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 197 alunos.

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