Um pesquisador deseja analisar a relação entre o número de horas estudadas por semana e a nota final obtida em um exame. Ele coletou os dados de 10 estudantes, apresentados na tabela abaixo(1,0)
Horas Estudadas (X) Nota no Exame (Y)
5 55
8 60
10 65
12 70
15 75
18 80
20 85
22 88
25 90
28 95
Com base nesses dados:
Calcule o coeficiente de correlação de Pearson ® entre X (horas estudadas) e Y (nota no exame).

Passo 1

Beleza, vamos tratar dessa questão de correlação entre o número de horas estudadas por semana (X) e a nota final no exame (Y). Nosso objetivo aqui é calcular o coeficiente de correlação de Pearson, que nos ajuda a entender se existe uma relação linear entre essas duas variáveis. Para isso, vamos precisar dos dados fornecidos na tabela e usar a fórmula do coeficiente de correlação.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Horas Estudadas (X): 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28
  • Nota no Exame (Y): 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 88, 90, 95

Passo 3

O próximo passo é lembrar da fórmula do coeficiente de correlação de Pearson ®:
r = n(sum XY) - (sum X)(sum Y)raiz[nsum X^2 - (sum X)^2][nsum Y^2 - (sum Y)^2]
Aqui, $ n $ é o número de pares de dados, $ \sum XY $ é a soma dos produtos de X e Y, $ \sum X $ e $ \sum Y $ são as somas individuais, e $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $ são as somas dos quadrados de X e Y, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular cada um desses componentes passo a passo. Primeiro, calculamos $ \sum X $, $ \sum Y $, $ \sum XY $, $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $.
Calculando $ \sum X $:
sum X
Calculando $ \sum Y $:
sum Y
Calculando $ \sum XY $:
sum XY
Calculando $ \sum X^2 $:
sum X^2
Calculando $ \sum Y^2 $:
sum Y^2

Passo 5

Agora que temos todos os valores necessários, vamos substituir na fórmula do coeficiente de correlação de Pearson:
r = 10(13.295) - (163)(783)raiz[10(3.215) - (163)^2][10(57.169) - (783)^2]
Calculando o numerador:
10 times 13.295 = 132,95
163 times 783 = 127.629
132,95 - 127.629 = 5,321
Calculando o denominador:
10 times 3.215 = 32,15
163^2 = 26.569
32,15 - 26.569 = 5,581
10 times 57.169 = 571,69
783^2 = 613.089
571,69 - 613.089 = -41,4
raiz5,581 times (-41,4) = raiz-231,5
Aqui percebemos um problema: a raiz de um número negativo não é real. Isso indica que houve um erro nos cálculos anteriores, provavelmente na soma dos produtos $ \sum XY $ ou em $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $. Vamos revisar os cálculos para garantir precisão.

Passo 6

Após revisar os cálculos, corrigimos os valores de $ \sum XY $, $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $:
sum XY
sum X^2
sum Y^2
Vamos atualizar o denominador com os valores corretos:
sum XY = 5 times 55 + 8 times 60 + 10 times 65 + 12 times 70 + 15 times 75 + 18 times 80 + 20 times 85 + 22 times 88 + 25 times 90 + 28 times 95 = 13.295
sum X^2 = 5^2 + 8^2 + 10^2 + 12^2 + 15^2 + 18^2 + 20^2 + 22^2 + 25^2 + 28^2 = 3.215
sum Y^2 = 55^2 + 60^2 + 65^2 + 70^2 + 75^2 + 80^2 + 85^2 + 88^2 + 90^2 + 95^2 = 57.169
10 times 3.215 = 32,15
163^2 = 26.569
32,15 - 26.569 = 5,581
Ainda temos um denominador negativo, o que não faz sentido. Isso sugere que pode haver um erro na forma de calcular $ \sum XY $. Vamos recalcular $ \sum XY $:
10 times 57.169 = 571,69
783^2 = 613.089
Agora, recalculamos o numerador e denominador:
Numerador:
571,69 - 613.089 = -41,4
sum XY
sum XY
Denominador:
5 times 55 &= 275 8 times 60 &= 480 10 times 65 &= 650 12 times 70 &= 840 15 times 75 &= 1.125 18 times 80 &= 1.440 20 times 85 &= 1.700 22 times 88 &= 1.936 25 times 90 &= 2.250 28 times 95 &= 2.660
sum XY = 275 + 480 + 650 + 840 + 1.125 + 1.440 + 1.700 + 1.936 + 2.250 + 2.660 = 12.860
10 times 12.860 = 128.600
163 times 783 = 127.629
128.600 - 127.629 = 971
10 times 3.215 = 32,15
Ainda temos um problema com o denominador. Vamos verificar $ \sum Y^2 $:
163^2 = 26.569
32,15 - 26.569 = 5,581
Agora, atualizamos o denominador:
10 times 57.169 = 571,69
783^2 = 613.089
Ainda há um erro. Parece que a fórmula foi mal aplicada. Vamos usar uma fórmula alternativa para evitar confusão:
571,69 - 613.089 = -41,4

Passo 7

Vamos calcular as médias de X e Y:
X = sum Xn = 16310 = 16,3
Y = sum Yn = 78310 = 78,3
Agora, para cada par (X, Y), vamos calcular $ X - \overline{X} $ e $ Y - \overline{Y} $, depois $ (X - \overline{X})(Y - \overline{Y}) $, $ (X - \overline{X})^2 $ e $ (Y - \overline{Y})^2 $:
X Y X - 16,3 Y - 78,3 (X - 16,3)(Y - 78,3) (X - 16,3)^2 (Y - 78,3)^2
5 55 -11,3 -23,3 263,69 127,69 543,29
8 60 -8,3 -18,3 151,89 68,89 334,89
10 65 -6,3 -13,3 83,79 39,69 176,89
12 70 -4,3 -8,3 35,69 18,49 68,89
15 75 -1,3 -3,3 4,29 1,69 10,89
18 80 1,7 1,7 2,89 2,89 2,89
20 85 3,7 6,7 24,79 13,69 44,89
22 88 5,7 9,7 55,29 32,49 94,09
25 90 8,7 11,7 101,79 75,69 136,89
28 95 11,7 16,7 195,99 136,89 278,89
Agora, somamos as colunas correspondentes:
X - X
Y - Y
(X - X)(Y - Y)

Passo 8

Agora, substituímos esses valores na fórmula alternativa do coeficiente de correlação:
r = 918,10raiz518,10 times 1.650,10 = 918,10raiz852.265,21 = 918,10923,25 approx 0,995

Resposta

O coeficiente de correlação de Pearson ® entre as horas estudadas e a nota no exame é aproximadamente 0,995, indicando uma forte relação positiva entre as duas variáveis.

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