Um pesquisador deseja analisar a relação entre o número de horas estudadas por semana e a nota final obtida em um exame. Ele coletou os dados de 10 estudantes, apresentados na tabela abaixo(1,0)
Horas Estudadas (X) | Nota no Exame (Y) |
---|---|
5 | 55 |
8 | 60 |
10 | 65 |
12 | 70 |
15 | 75 |
18 | 80 |
20 | 85 |
22 | 88 |
25 | 90 |
28 | 95 |
Com base nesses dados:
Calcule o coeficiente de correlação de Pearson ® entre X (horas estudadas) e Y (nota no exame).
Calcule o coeficiente de correlação de Pearson ® entre X (horas estudadas) e Y (nota no exame).
Passo 1
Beleza, vamos tratar dessa questão de correlação entre o número de horas estudadas por semana (X) e a nota final no exame (Y). Nosso objetivo aqui é calcular o coeficiente de correlação de Pearson, que nos ajuda a entender se existe uma relação linear entre essas duas variáveis. Para isso, vamos precisar dos dados fornecidos na tabela e usar a fórmula do coeficiente de correlação.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os dados que temos:
- Horas Estudadas (X): 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28
- Nota no Exame (Y): 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 88, 90, 95
Passo 3
O próximo passo é lembrar da fórmula do coeficiente de correlação de Pearson ®:
Aqui, $ n $ é o número de pares de dados, $ \sum XY $ é a soma dos produtos de X e Y, $ \sum X $ e $ \sum Y $ são as somas individuais, e $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $ são as somas dos quadrados de X e Y, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular cada um desses componentes passo a passo. Primeiro, calculamos $ \sum X $, $ \sum Y $, $ \sum XY $, $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $.
Calculando $ \sum X $:
Calculando $ \sum Y $:
Calculando $ \sum XY $:
Calculando $ \sum X^2 $:
Calculando $ \sum Y^2 $:
Passo 5
Agora que temos todos os valores necessários, vamos substituir na fórmula do coeficiente de correlação de Pearson:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Aqui percebemos um problema: a raiz de um número negativo não é real. Isso indica que houve um erro nos cálculos anteriores, provavelmente na soma dos produtos $ \sum XY $ ou em $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $. Vamos revisar os cálculos para garantir precisão.
Passo 6
Após revisar os cálculos, corrigimos os valores de $ \sum XY $, $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $:
Vamos atualizar o denominador com os valores corretos:
Ainda temos um denominador negativo, o que não faz sentido. Isso sugere que pode haver um erro na forma de calcular $ \sum XY $. Vamos recalcular $ \sum XY $:
Agora, recalculamos o numerador e denominador:
Numerador:
Denominador:
Ainda temos um problema com o denominador. Vamos verificar $ \sum Y^2 $:
Agora, atualizamos o denominador:
Ainda há um erro. Parece que a fórmula foi mal aplicada. Vamos usar uma fórmula alternativa para evitar confusão:
Passo 7
Vamos calcular as médias de X e Y:
Agora, para cada par (X, Y), vamos calcular $ X - \overline{X} $ e $ Y - \overline{Y} $, depois $ (X - \overline{X})(Y - \overline{Y}) $, $ (X - \overline{X})^2 $ e $ (Y - \overline{Y})^2 $:
X | Y | X - 16,3 | Y - 78,3 | (X - 16,3)(Y - 78,3) | (X - 16,3)^2 | (Y - 78,3)^2 |
---|---|---|---|---|---|---|
5 | 55 | -11,3 | -23,3 | 263,69 | 127,69 | 543,29 |
8 | 60 | -8,3 | -18,3 | 151,89 | 68,89 | 334,89 |
10 | 65 | -6,3 | -13,3 | 83,79 | 39,69 | 176,89 |
12 | 70 | -4,3 | -8,3 | 35,69 | 18,49 | 68,89 |
15 | 75 | -1,3 | -3,3 | 4,29 | 1,69 | 10,89 |
18 | 80 | 1,7 | 1,7 | 2,89 | 2,89 | 2,89 |
20 | 85 | 3,7 | 6,7 | 24,79 | 13,69 | 44,89 |
22 | 88 | 5,7 | 9,7 | 55,29 | 32,49 | 94,09 |
25 | 90 | 8,7 | 11,7 | 101,79 | 75,69 | 136,89 |
28 | 95 | 11,7 | 16,7 | 195,99 | 136,89 | 278,89 |
Agora, somamos as colunas correspondentes:
Passo 8
Agora, substituímos esses valores na fórmula alternativa do coeficiente de correlação:
Resposta
O coeficiente de correlação de Pearson ® entre as horas estudadas e a nota no exame é aproximadamente 0,995, indicando uma forte relação positiva entre as duas variáveis.