Uma escola tem 5 professores de Matemática e 3 professores de Língua Portuguesa. Deseja-se formar uma comissão com 3 professores, de modo que haja, pelo menos, 1 professor de cada disciplina na comissão. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?
a) 45 .
b) 55 .
c) 35 .
d) 40 .
e) 50 .
a) 45 .
b) 55 .
c) 35 .
d) 40 .
e) 50 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede quantas comissões de 3 professores podem ser formadas sob uma restrição.
- Há
professores de Matemática. - Há
professores de Língua Portuguesa. - Quer-se formar uma comissão de
professores. - Restrição: a comissão deve ter, pelo menos,
professor de cada disciplina.
O que se pede: contar o número de comissões diferentes (conjuntos de
professores) que respeitam a restrição “pelo menos 1 de cada disciplina”.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática das ferramentas que vamos usar).
- Quando precisamos escolher um subconjunto de
elementos a partir de um conjunto de elementos, e a ordem não importa, usamos o número de combinações
onde
(fatorial) significa
. Exemplo rápido:
.
- Se um evento é formado pela escolha independente de um elemento de um grupo A e de um elemento de um grupo B, o número total de escolhas possíveis é o produto do número de escolhas em A pelo número de escolhas em B (princípio multiplicativo).
No nosso problema a comissão tem tamanho fixo
. Como é obrigatório ter pelo menos
de cada disciplina, só há duas composições possíveis de números de professores por disciplina:
-
de Matemática e de Português. -
de Matemática e de Português.
Vamos contar cada caso separadamente usando combinações e depois somar (pois os casos são mutuamente exclusivos).
Passo 3
Contagem do caso
:
de Matemática e
de Português.
- Escolher
entre os professores de Matemática: . - Escolher
entre os professores de Português: .
Pelo princípio multiplicativo, o número de comissões desse tipo é
Calculemos cada combinação:
Logo o total desse caso é
Passo 4
Contagem do caso
:
de Matemática e
de Português.
- Escolher
entre os professores de Matemática: . - Escolher
entre os professores de Português: .
Número de comissões desse tipo:
Calculemos:
Então o total desse caso é
Passo 5
Somando os dois casos (são mutuamente exclusivos e cobrem todas as possibilidades válidas):
Portanto há
comissões possíveis que têm pelo menos um professor de cada disciplina.
Como verificação alternativa (método do complementar): o total de comissões sem restrição é
. Subtraindo as comissões proibidas (todas de Matemática:
; todas de Português:
) obtemos
, mesmo resultado — bom sinal!
Resposta
a) 45.