Uma escola tem 5 professores de Matemática e 3 professores de Língua Portuguesa. Deseja-se formar uma comissão com 3 professores, de modo que haja, pelo menos, 1 professor de cada disciplina na comissão. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?
a) 45 .
b) 55 .
c) 35 .
d) 40 .
e) 50 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quantas comissões de 3 professores podem ser formadas sob uma restrição.
  • 5 professores de Matemática.
  • 3 professores de Língua Portuguesa.
  • Quer-se formar uma comissão de 3 professores.
  • Restrição: a comissão deve ter, pelo menos, 1 professor de cada disciplina.
O que se pede: contar o número de comissões diferentes (conjuntos de 3 professores) que respeitam a restrição “pelo menos 1 de cada disciplina”.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática das ferramentas que vamos usar).
  • Quando precisamos escolher um subconjunto de k elementos a partir de um conjunto de n elementos, e a ordem não importa, usamos o número de combinações
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots1. Exemplo rápido: \,4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
  • Se um evento é formado pela escolha independente de um elemento de um grupo A e de um elemento de um grupo B, o número total de escolhas possíveis é o produto do número de escolhas em A pelo número de escolhas em B (princípio multiplicativo).
No nosso problema a comissão tem tamanho fixo 3. Como é obrigatório ter pelo menos 1 de cada disciplina, só há duas composições possíveis de números de professores por disciplina:
  1. 1 de Matemática e 2 de Português.
  2. 2 de Matemática e 1 de Português.
Vamos contar cada caso separadamente usando combinações e depois somar (pois os casos são mutuamente exclusivos).

Passo 3

Contagem do caso 1: 1 de Matemática e 2 de Português.
  • Escolher 1 entre os 5 professores de Matemática: \binom{5}{1}.
  • Escolher 2 entre os 3 professores de Português: \binom{3}{2}.
    Pelo princípio multiplicativo, o número de comissões desse tipo é
\binom{5}{1}\cdot\binom{3}{2}.
Calculemos cada combinação:
\binom{5}{1}=5,\qquad \binom{3}{2}=3.
Logo o total desse caso é
5\cdot3=15.

Passo 4

Contagem do caso 2: 2 de Matemática e 1 de Português.
  • Escolher 2 entre os 5 professores de Matemática: \binom{5}{2}.
  • Escolher 1 entre os 3 professores de Português: \binom{3}{1}.
    Número de comissões desse tipo:
\binom{5}{2}\cdot\binom{3}{1}.
Calculemos:
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10,\qquad \binom{3}{1}=3.
Então o total desse caso é
10\cdot3=30.

Passo 5

Somando os dois casos (são mutuamente exclusivos e cobrem todas as possibilidades válidas):
15+30=45.
Portanto há 45 comissões possíveis que têm pelo menos um professor de cada disciplina.
Como verificação alternativa (método do complementar): o total de comissões sem restrição é \binom{8}{3}=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56. Subtraindo as comissões proibidas (todas de Matemática: \binom{5}{3}=10; todas de Português: \binom{3}{3}=1) obtemos 56-10-1=45, mesmo resultado — bom sinal!

Resposta

a) 45.

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