Quantos números primos existem entre 30 e 50, inclusive?
a) 3 .
b) 4 .
c) 5 .
d) 6 .
e) 7 .
a) 3 .
b) 4 .
c) 5 .
d) 6 .
e) 7 .
Passo 1
O enunciado pergunta quantos números primos existem entre
e
, inclusive. As alternativas são:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
a)
b)
c)
d)
e)
Informações dadas e limites do problema:
- Intervalo considerado: todos os inteiros
tais que . - Pedido: contar quantos desses inteiros são primos e escolher a alternativa correta.
Passo 2
O que é um número primo e como testar primidade (explicação didática):
- Definição: um inteiro
é primo se seus únicos divisores positivos são e (isto é, não existe inteiro com tal que divide ). - Regra prática para testar primos: para verificar se
é primo basta testar se algum número primo divide , onde . Se nenhum desses dividir , então é primo. - Justificativa breve e intuitiva: se
fosse composto, escreveríamos com . Então . Assim sempre existe um divisor .
- Justificativa breve e intuitiva: se
- Para o nosso intervalo: o maior
é . Temos , então só precisamos testar divisibilidade por primos com , isto é, por , , e . - Testes rápidos úteis:
- Divisibilidade por
: número par (termina em ). - Divisibilidade por
: termina em ou . - Divisibilidade por
: soma dos dígitos é múltipla de . - Divisibilidade por
: testar divisão direta (ou ver se é múltiplo conhecido).
- Divisibilidade por
Passo 3
Listar todos os inteiros entre
e
, inclusive:
.
Passo 4
Eliminar rapidamente os compostos óbvios:
- Todos os pares são divisíveis por
: — todos compostos. - Números que terminam em
ou são divisíveis por : dentre os ímpares restantes, e são múltiplos de (já eliminados também).
Restam para análise detalhada (ímpar e não múltiplo de):
.
Passo 5
Testar cada candidato restante pelos primos
(já sabemos que não são pares nem múltiplos de
):
-
: soma dos dígitos não é múltipla de , logo não divisível por . Divisão por : deixa resto , não divisível. Portanto é primo. -
: soma dos dígitos é múltipla de , logo é divisível por → composto. -
: soma não múltipla de . deixa resto , não divisível por . Portanto é primo. -
: soma é múltipla de , logo é divisível por → composto. -
: soma não múltipla de . resto , não divisível por . Portanto é primo. -
: soma não múltipla de . resto , não divisível por . Portanto é primo. -
: soma não múltipla de . resto , não divisível por . Portanto é primo. -
: é claramente divisível por → composto.
Passo 6
Reunindo os primos encontrados no intervalo:
.
Contagem: há
números primos entre
e
, inclusive.
Resposta
c)
.