Quantos números primos existem entre 30 e 50, inclusive?
a) 3 .
b) 4 .
c) 5 .
d) 6 .
e) 7 .

Passo 1

O enunciado pergunta quantos números primos existem entre 30 e 50, inclusive. As alternativas são:
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
Informações dadas e limites do problema:
  • Intervalo considerado: todos os inteiros n tais que 30 \le n \le 50.
  • Pedido: contar quantos desses inteiros são primos e escolher a alternativa correta.

Passo 2

O que é um número primo e como testar primidade (explicação didática):
  • Definição: um inteiro n>1 é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e n (isto é, não existe inteiro d com 1<d<n tal que d divide n).
  • Regra prática para testar primos: para verificar se n é primo basta testar se algum número primo p divide n, onde p \le \sqrt{n}. Se nenhum desses p dividir n, então n é primo.
    • Justificativa breve e intuitiva: se n fosse composto, escreveríamos n=a\cdot b com 1<a\le b<n. Então a\le\sqrt{n}. Assim sempre existe um divisor \le\sqrt{n}.
  • Para o nosso intervalo: o maior n é 50. Temos \sqrt{50}\approx 7,07, então só precisamos testar divisibilidade por primos p com p\le 7, isto é, por 2, 3, 5 e 7.
  • Testes rápidos úteis:
    • Divisibilidade por 2: número par (termina em 0,2,4,6,8).
    • Divisibilidade por 5: termina em 0 ou 5.
    • Divisibilidade por 3: soma dos dígitos é múltipla de 3.
    • Divisibilidade por 7: testar divisão direta (ou ver se é múltiplo conhecido).

Passo 3

Listar todos os inteiros entre 30 e 50, inclusive:
30,\;31,\;32,\;33,\;34,\;35,\;36,\;37,\;38,\;39,\;40,\;41,\;42,\;43,\;44,\;45,\;46,\;47,\;48,\;49,\;50.

Passo 4

Eliminar rapidamente os compostos óbvios:
  • Todos os pares são divisíveis por 2: 30,\;32,\;34,\;36,\;38,\;40,\;42,\;44,\;46,\;48,\;50 — todos compostos.
  • Números que terminam em 5 ou 0 são divisíveis por 5: dentre os ímpares restantes, 35 e 45 são múltiplos de 5 (já eliminados também).
    Restam para análise detalhada (ímpar e não múltiplo de 5):
    31,\;33,\;37,\;39,\;41,\;43,\;47,\;49.

Passo 5

Testar cada candidato restante pelos primos 2,3,5,7 (já sabemos que não são pares nem múltiplos de 5):
  • 31: soma dos dígitos 3+1=4 não é múltipla de 3, logo não divisível por 3. Divisão por 7: 7\cdot4=28 deixa resto 3, não divisível. Portanto 31 é primo.
  • 33: soma dos dígitos 3+3=6 é múltipla de 3, logo 33 é divisível por 3 → composto.
  • 37: soma 3+7=10 não múltipla de 3. 7\cdot5=35 deixa resto 2, não divisível por 7. Portanto 37 é primo.
  • 39: soma 3+9=12 é múltipla de 3, logo 39 é divisível por 3 → composto.
  • 41: soma 4+1=5 não múltipla de 3. 7\cdot5=35 resto 6, não divisível por 7. Portanto 41 é primo.
  • 43: soma 4+3=7 não múltipla de 3. 7\cdot6=42 resto 1, não divisível por 7. Portanto 43 é primo.
  • 47: soma 4+7=11 não múltipla de 3. 7\cdot6=42 resto 5, não divisível por 7. Portanto 47 é primo.
  • 49: 49=7\cdot7 é claramente divisível por 7 → composto.

Passo 6

Reunindo os primos encontrados no intervalo:
31,\;37,\;41,\;43,\;47.
Contagem: há 5 números primos entre 30 e 50, inclusive.

Resposta

c) 5.

Exercícios relacionados