Escolha, ao acaso, um ponto na região de definida por e . Para a equação , determine a probabilidade das raízes serem:
a) Dois números reais e distintos.
b) Dois números reais.
Passo 1
O enunciado diz que escolhemos ao acaso um ponto no quadrado e consideramos a equação
Precisamos achar a probabilidade de as raízes serem (a) reais e distintas e (b) reais (ou seja, reais simples ou iguais).
Passo 2
Para uma equação quadrática , o discriminante é
As raízes são reais se, e somente se, , isto é,
Elas são distintas exatamente quando , isto é, . O caso de raízes iguais ocorre só se .
Passo 3
Como é uniforme no quadrado unitário, a probabilidade de um evento é a área da região correspondente em .
(a) A região de raízes reais e distintas é . A área dessa região é
Passo 4
(b) A região de raízes reais (incluindo possibilidade de iguais) é b <= a^2. Essa região difere da anterior apenas pela fronteira b=a^2, que tem área zero. Logo,
P(raízes reais) = áreab<= a^2 = tfrac13 íá
A probabilidade de ocorrerem raízes exatamente iguais (caso b=a^2) é zero.