Escolha, ao acaso, um ponto (a, b) na região de R^2 definida por 0<x<1 e 0<y<1. Para a equação z^2+2 a z+b=0, determine a probabilidade das raízes serem:
a) Dois números reais e distintos.
b) Dois números reais.

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos ao acaso um ponto (a,b) no quadrado 0<a<1,;0<b<1 e consideramos a equação
z^2 + 2a,z + b = 0
Precisamos achar a probabilidade de as raízes serem (a) reais e distintas e (b) reais (ou seja, reais simples ou iguais).

Passo 2

Para uma equação quadrática z^2+2a,z+b=0, o discriminante é
De<a = (2a)^2 - 4cdot1cdot b = 4,(a^2 - b)
As raízes são reais se, e somente se, De<a >= 0, isto é,
a^2 - b >= 0 Long<=ftrightarrow b <= a^2
Elas são distintas exatamente quando De<a>0, isto é, b < a^2. O caso de raízes iguais ocorre só se b = a^2.

Passo 3

Como (a,b) é uniforme no quadrado unitário, a probabilidade de um evento é a área da região correspondente em [0,1]times[0,1].
(a) A região de raízes reais e distintas é (a,b):0<a<1,;0<b<1,;b<a^2. A área dessa região é
integrala=0^1l(underbracea^2a<ura de br),da = integral0^1 a^2,da = l[tfraca^33r]0^1 = tfrac13

Passo 4

(b) A região de raízes reais (incluindo possibilidade de iguais) é b <= a^2. Essa região difere da anterior apenas pela fronteira b=a^2, que tem área zero. Logo,
P(raízes reais) = áreab<= a^2 = tfrac13 íá
A probabilidade de ocorrerem raízes exatamente iguais (caso b=a^2) é zero.

Resposta

a) tfrac13
b) tfrac13

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