Sendo
eventos em (
), mostre que temos
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a fórmula da inclusão–exclusão para a união de
eventos, ou seja, mostrar que
onde para cada
O método será por indução em
, usando a propriedade
.
Passo 2
Base da indução em
e
.
Para a união é só
e
, logo
Para
Para
temos
pois
e
. Isso coincide com a fórmula para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Queremos mostrar que então vale também para
.
Passo 4
Escrevemos
Pelo passo indutivo o primeiro termo é
. Falta avaliar
.
Passo 5
Observe que
é a união de
eventos
. Aplicando a hipótese de indução a esses
, obtemos
onde
Passo 6
Substituindo em
Agrupando em potências de
, define-se para
que coincide exatamente com a soma de todas as interseções de tamanho . Assim
fechando a indução.