Sendo A1, A2, cdots, An eventos em ( Omega, F, P ), mostre que temos
r P(cupj=1^n Aj)=S1-S2+cdots+(-1)^n-1 Sn com Sk=sum1<i1<cdots<ik<n cdots sumi1 P(Ai1, Ai1, cdots, Aik), k=1,2, cdots, n

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a fórmula da inclusão–exclusão para a união de n eventos, ou seja, mostrar que
Pl(cupj=1^nAjr) =sumk=1^n(-1)^,k-1Sk,
onde para cada k
Sk =sum1<= i1<cdots<ik<= n Pl(Ai1capcdotscap Aikr)
O método será por indução em n, usando a propriedade
;P(Ecup F)=P(E)+P(F)-P(Ecap F).

Passo 2

Base da indução em n=1 e n=2.
Para n=1 a união é só A1 e S1=P(A1), logo
Pl(A1r) =S1
Para n=2 temos
Pl(A1cup A2r) =P(A1)+P(A2)-P(A1cap A2) =S1-S2,
pois S1=P(A1)+P(A2) e S2=P(A1cap A2). Isso coincide com a fórmula para n=2.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum n>=2 valha
Pl(cupj=1^nAjr) =sumk=1^n(-1)^,k-1Sk
Queremos mostrar que então vale também para n+1.

Passo 4

Escrevemos
Pl(cupj=1^n+1Ajr) =Pl(cupj=1^nAj;cup;An+1r) =Pl(cupj=1^nAjr) +P(An+1) -Pl(cupj=1^nAj;cap;An+1r)
Pelo passo indutivo o primeiro termo é sumk=1^n(-1)^k-1Sk. Falta avaliar
;Pl(cupj=1^nAjcap An+1r).

Passo 5

Observe que
cupj=1^nl(Ajcap An+1r)
é a união de n eventos Bj=Ajcap An+1. Aplicando a hipótese de indução a esses Bj, obtemos
Pl(cupj=1^nBjr) =sumell=1^n(-1)^ell-1Tell,
onde
Tell =sum1<= i1<cdots<iell<= n Pl(Bi1capcdotscap Biellr) =sum1<= i1<cdots<iell<= n Pl(Ai1capcdotscap Aiellcap An+1r)

Passo 6

Substituindo em
Agrupando em potências de , define-se para
que coincide exatamente com a soma de todas as interseções de tamanho . Assim
fechando a indução.

Resposta

Pl(cupj=1^nAjr) =sumk=1^n(-1)^,k-1 sum1<= i1<cdots<ik<= n Pl(Ai1capcdotscap Aikr)

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