Escolha ao acaso um ponto sobre o quadrado unitário
. Seja
o evento de que o ponto está no triângulo limitado por
e
e
o evento de que o ponto está no retângulo com vértices em
e
. Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para escolher aleatoriamente um ponto dentro do quadrado unitário
. Temos dois eventos:
- Evento A: O ponto está dentro do triângulo limitado por
, e . - Evento B: O ponto está dentro do retângulo com vértices em
, , e .
Queremos determinar
e
. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade geométrica, que envolve calcular áreas de regiões sobre o espaço amostral, que nesse caso é o próprio quadrado unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a probabilidade de o ponto estar no triângulo
.
O triângulo
é limitado pelas retas
,
e
. Esse triângulo tem vértices em
,
e
.
A área de um triângulo é dada por:
Aqui, a base é 1 (de
a
) e a altura também é 1 (de
a
). Então:
Como o quadrado unitário tem área 1, a probabilidade
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é a probabilidade de o ponto estar no retângulo
.
O retângulo
tem vértices em
,
,
e
. A largura do retângulo é 1 e a altura é
.
A área do retângulo é:
Então, a probabilidade
é:
Passo 4
Precisamos encontrar
, que é a probabilidade de o ponto estar simultaneamente no triângulo
e no retângulo
.
Visualizando, a interseção
é a parte do triângulo
que está dentro do retângulo
, ou seja, a região onde
.
Para calcular essa área, podemos integrar:
Integrando:
Portanto:
Passo 5
Para encontrar
, usamos a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
Substituindo os valores que calculamos: