Escolha ao acaso um ponto sobre o quadrado unitário [0,1] times[0,1]. Seja A o evento de que o ponto está no triângulo limitado por y=0, x=1 e x=y e B o evento de que o ponto está no retângulo com vértices em (0,0),(1,0),(1,1 / 2) e (0,1 / 2). Determine P(A cup B) e P(A cap B).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para escolher aleatoriamente um ponto dentro do quadrado unitário [0,1] times [0,1]. Temos dois eventos:
  • Evento A: O ponto está dentro do triângulo limitado por y = 0, x = 1 e x = y.
  • Evento B: O ponto está dentro do retângulo com vértices em (0,0), (1,0), (1,12) e (0,12).
Queremos determinar P(A cup B) e P(A cap B). Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade geométrica, que envolve calcular áreas de regiões sobre o espaço amostral, que nesse caso é o próprio quadrado unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular P(A), que é a probabilidade de o ponto estar no triângulo A.
O triângulo A é limitado pelas retas y = 0, x = 1 e x = y. Esse triângulo tem vértices em (1,0), (1,1) e (0,0).
A área de um triângulo é dada por:
Área = 12 times base times aÁ
Aqui, a base é 1 (de x = 0 a x = 1) e a altura também é 1 (de y = 0 a y = 1). Então:
Área do triângulo A = 12 times 1 times 1 = 12 Áâ
Como o quadrado unitário tem área 1, a probabilidade P(A) é:
P(A) = Área de AÁrea do quadrado = 121 = 12 ÁÁ

Passo 3

Agora, vamos calcular P(B), que é a probabilidade de o ponto estar no retângulo B.
O retângulo B tem vértices em (0,0), (1,0), (1,12) e (0,12). A largura do retângulo é 1 e a altura é 12.
A área do retângulo é:
Área do retângulo B = largura times aÁâ
Então, a probabilidade P(B) é:
P(B) = Área de BÁrea do quadrado = 121 = 12 ÁÁ

Passo 4

Precisamos encontrar P(A cap B), que é a probabilidade de o ponto estar simultaneamente no triângulo A e no retângulo B.
Visualizando, a interseção A cap B é a parte do triângulo A que está dentro do retângulo B, ou seja, a região onde y <= 12.
Para calcular essa área, podemos integrar:
Área de A cap B = integral0^12 (1 - y) , dy Á
Integrando:
integral0^12 (1 - y) , dy = [ y - 12y^2 ]0^12 = ( 12 - 12 times 14 ) - (0 - 0) = 12 - 18 = 38
Portanto:
P(A cap B) = Área de A cap BÁrea do quadrado = 381 = 38 ÁÁ

Passo 5

Para encontrar P(A cup B), usamos a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Substituindo os valores que calculamos:
P(A cup B) = 12 + 12 - 38 = 1 - 38 = 58

Resposta

P(A cup B) = 58 e P(A cap B) = 38

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