Seja Omega um conjunto abstrato e seja A uma sigma-álgebra de subconjuntos de Omega. Mostre que:
Se A in A e B in A então A cup B in A e A cap B in A

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, se temos dois conjuntos $ A $ e $ B $ que pertencem a uma A -álgebra $ \mathcal{A} $ sobre um conjunto $ \Omega $, então a união $ A \cup B $ e a interseção $ A \cap B $ também pertencem a $ \mathcal{A} $. Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma B -álgebra e quais são as propriedades que ela precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma sigma-álgebra. Uma sigma-álgebra $ \mathcal{A} $ sobre um conjunto $ \Omega $ é uma coleção de subconjuntos de $ \Omega $ que satisfaz três propriedades:
  1. $ \Omega $ está em $ \mathcal{A} $.
  2. Se um conjunto $ A $ está em $ \mathcal{A} $, então o complemento de $ A $, $ A^c $, também está em $ \mathcal{A} $.
  3. Se temos uma sequência de conjuntos $ A_1, A_2, A_3, ··· $ que estão em $ \mathcal{A} $, então a união desses conjuntos $ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n $ também está em $ \mathcal{A} $.
Essas propriedades garantem que a A -álgebra é fechada sob complementos e uniões contáveis, o que é essencial para desenvolver medidas em espaços mais complexos.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a união de dois conjuntos $ A $ e $ B $ que estão em $ \mathcal{A} $ também está em $ \mathcal{A} $. Para isso, usamos a terceira propriedade da A -álgebra, que diz que uniões contáveis de conjuntos na $\mathcal{A} $ também estão em $ \mathcal{A} $.
Como $ A $ e $ B $ estão em $ \mathcal{A} $, podemos considerar a união $ A \cup B $ como uma união de dois conjuntos, que é um caso especial de união contável. Portanto, $ A \cup B $ também pertence a $ \mathcal{A} $.

Passo 4

Agora, vamos provar que a interseção $ A \cap B $ também pertence a $ \mathcal{A} $. Para isso, usamos as propriedades de complementação e união.
Sabemos que:
A cap B
Aqui, utilizamos o fato de que a interseção de dois conjuntos é igual ao complemento da união de seus complementos (Lei de De Morgan).
Como $ A $ e $ B $ estão em $ \mathcal{A} $, seus complementos $ A^c $ e $ B^c $ também pertencem a $ \mathcal{A} $ (pela segunda propriedade da A -álgebra). A união $ A^c \cup B^c $ pertence a $ \mathcal{A} $ (pela terceira propriedade). Finalmente, o complemento dessa união $ (A^c \cup Bc)c $ também está em $ \mathcal{A} $, novamente pela segunda propriedade.

Resposta

Portanto, mostramos que se $ A $ e $ B $ estão na A -álgebra $ \mathcal{A} $, então tanto $ A \cup B $ quanto $ A \cap B $ também pertencem a $ \mathcal{A} $.

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