Seja
um conjunto abstrato e seja
uma
-álgebra de subconjuntos de
. Mostre que:
Se
e
então
e
Se
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, se temos dois conjuntos $ A $ e $ B $ que pertencem a uma
-álgebra $ \mathcal{A} $ sobre um conjunto $ \Omega $, então a união $ A \cup B $ e a interseção $ A \cap B $ também pertencem a $ \mathcal{A} $. Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma
-álgebra e quais são as propriedades que ela precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma
-álgebra. Uma
-álgebra $ \mathcal{A} $ sobre um conjunto $ \Omega $ é uma coleção de subconjuntos de $ \Omega $ que satisfaz três propriedades:
- $ \Omega $ está em $ \mathcal{A} $.
- Se um conjunto $ A $ está em $ \mathcal{A} $, então o complemento de $ A $, $ A^c $, também está em $ \mathcal{A} $.
- Se temos uma sequência de conjuntos $ A_1, A_2, A_3, ··· $ que estão em $ \mathcal{A} $, então a união desses conjuntos $ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n $ também está em $ \mathcal{A} $.
Essas propriedades garantem que a
-álgebra é fechada sob complementos e uniões contáveis, o que é essencial para desenvolver medidas em espaços mais complexos.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a união de dois conjuntos $ A $ e $ B $ que estão em $ \mathcal{A} $ também está em $ \mathcal{A} $. Para isso, usamos a terceira propriedade da
-álgebra, que diz que uniões contáveis de conjuntos na $\mathcal{A} $ também estão em $ \mathcal{A} $.
Como $ A $ e $ B $ estão em $ \mathcal{A} $, podemos considerar a união $ A \cup B $ como uma união de dois conjuntos, que é um caso especial de união contável. Portanto, $ A \cup B $ também pertence a $ \mathcal{A} $.
Passo 4
Agora, vamos provar que a interseção $ A \cap B $ também pertence a $ \mathcal{A} $. Para isso, usamos as propriedades de complementação e união.
Sabemos que:
Aqui, utilizamos o fato de que a interseção de dois conjuntos é igual ao complemento da união de seus complementos (Lei de De Morgan).
Como $ A $ e $ B $ estão em $ \mathcal{A} $, seus complementos $ A^c $ e $ B^c $ também pertencem a $ \mathcal{A} $ (pela segunda propriedade da
-álgebra). A união $ A^c \cup B^c $ pertence a $ \mathcal{A} $ (pela terceira propriedade). Finalmente, o complemento dessa união $ (A^c \cup Bc)c $ também está em $ \mathcal{A} $, novamente pela segunda propriedade.
Resposta
Portanto, mostramos que se $ A $ e $ B $ estão na
-álgebra $ \mathcal{A} $, então tanto $ A \cup B $ quanto $ A \cap B $ também pertencem a $ \mathcal{A} $.