Escolha a amostra de máteria que tem maior entropia em cada par e justifique sua escolha:
c) 1 mol de \mathrm{N}_{2}(\mathrm{~s}) a 24 K ou 1 mol de \mathrm{N}_{2}(\mathrm{~g}) a 298 K

Passo 1

O enunciado dá duas amostras de 1 mol de \mathrm{N}_2 e pede que eu escolha qual das duas tem maior entropia e justifique a escolha. As informações fornecidas são:
  • Amostra A: 1 mol de \mathrm{N}_2(\mathrm{s}) a 24\\ \mathrm{K}.
  • Amostra B: 1 mol de \mathrm{N}_2(\mathrm{g}) a 298\\ \mathrm{K}.
    A pergunta é: qual dessas amostras tem maior entropia? (é necessário justificar com argumentos físicos e conceituais).

Passo 2

O que é entropia — conceito básico e fórmula microcanônica:
  • Entropia é uma medida do número de estados microscópicos compatíveis com as condições macroscópicas de um sistema; intuitivamente, quantifica “quão espalhada” está a energia e quantas configurações diferentes as partículas podem assumir.
  • Em termos microscópicos usamos a fórmula de Boltzmann:
S = k \ln \Omega,
onde S é a entropia (em J/K para um sistema), k é a constante de Boltzmann ( k \approx 1,38\times 10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}) e \Omega é o número de microestados acessíveis. Para um mol usamos a constante dos gases R = N_A k e então trabalhamos com entropias molares S_\text{molar} em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 3

Fatores que aumentam a entropia — como decidir qualitativamente:
  • Fase: geralmente \text{S(sólido)} < \text{S(líquido)} < \text{S(gás)}óíá. Gases têm muito mais microestados porque as partículas podem se mover livremente (grande liberdade translacional).
  • Temperatura: ao aumentar T mais modos (vibrações, rotações, translações) ficam energeticamente acessíveis, aumentando \Omega e, portanto, S.
  • Conclusão qualitativa importante: tudo o mais constante, um gás à temperatura ambiente tende a ter entropia molar muito maior que um sólido frio.

Passo 4

Aplicando os fatores ao nosso par: diferença de fase
  • A amostra A está no estado sólido: em um sólido cristalino as moléculas vibram em torno de posições fixas; as libertades de movimento são poucas (principalmente modos vibracionais coletivos), então \Omega é relativamente pequeno.
  • A amostra B está no estado gasoso: as moléculas têm liberdade translacional em todo o volume, além de rotações ativas; isso gera um número de microestados muito maior que no sólido. Portanto só pela diferença de fase já esperamos S_\text{molar}(\text{g}) \gg S_\text{molar}(\text{s}), em condições típicas.

Passo 5

Aplicando os fatores ao nosso par: diferença de temperatura
  • A amostra A está a 24\\ \mathrm{K}, que é uma temperatura muito baixa. Segundo a terceira lei da termodinâmica, para um cristal perfeito a entropia tende a zero quando T\to 0; em temperaturas baixas muitos modos vibracionais não estão excitados, então a entropia é pequena.
  • A amostra B está a 298\\ \mathrm{K} (temperatura ambiente). A essa T os modos translacionais e rotacionais já estão amplamente acessíveis; isso aumenta muito a entropia em comparação com um sólido a 24\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Argumento quantitativo de ordem de grandeza (para firmar a intuição)
  • Entropias molares padrão conhecidas mostram a diferença típica: por exemplo, a entropia molar padrão de \mathrm{N}_2(\mathrm{g}) a 298\\ \mathrm{K} é da ordem de
S^\circ_\text{molar}(\mathrm{N}_2,\;298\\ \mathrm{K}) \approx 191{,}5\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Já um sólido molecular de nitrogênio a temperaturas muito baixas tem entropia molar muito menor — tipicamente alguns \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} ou até frações disso quando T está bem abaixo das temperaturas onde modos vibracionais se excitam. Pelo argumento da terceira lei, a 24\\ \mathrm{K} há poucas excitações térmicas, então S_\text{molar}(\mathrm{N}_2,\mathrm{s},24\\ \mathrm{K}) é muito menor que 191{,}5\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Conclusão numérica qualitativa: entropia do gás a 298\\ \mathrm{K} é dezenas a centenas de vezes maior que a do sólido a 24\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Síntese final e linguagem intuitiva (por que escolher o gás)
  • O gás a 298\\ \mathrm{K} tem muito mais graus de liberdade efetivos (translação e rotação totalmente acessas, plus alguma contribuição vibracional) e está em temperatura alta o bastante para ocupar um enorme espaço de microestados \Omega.
  • O sólido a 24\\ \mathrm{K} tem as moléculas praticamente presas e pouca energia térmica para excitar modos; por isso seu \Omega é pequeno e sua entropia é baixa.
  • Então, sem complicar com cálculos precisos, a escolha óbvia e justificada é que o gás a 298\\ \mathrm{K} tem a maior entropia.

Resposta

1\\ \text{mol de }\mathrm{N}_2(\mathrm{g})\\ \text{a}\\\ 298\\ \mathrm{K}

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