Escolha a amostra de máteria que tem maior entropia em cada par e justifique sua escolha:
c) 1 mol de
a 24 K ou 1 mol de
a 298 K
c) 1 mol de
Passo 1
O enunciado dá duas amostras de 1 mol de
e pede que eu escolha qual das duas tem maior entropia e justifique a escolha. As informações fornecidas são:
- Amostra A:
mol de a . - Amostra B:
mol de a .
A pergunta é: qual dessas amostras tem maior entropia? (é necessário justificar com argumentos físicos e conceituais).
Passo 2
O que é entropia — conceito básico e fórmula microcanônica:
- Entropia é uma medida do número de estados microscópicos compatíveis com as condições macroscópicas de um sistema; intuitivamente, quantifica “quão espalhada” está a energia e quantas configurações diferentes as partículas podem assumir.
- Em termos microscópicos usamos a fórmula de Boltzmann:
onde
é a entropia (em J/K para um sistema),
é a constante de Boltzmann (
) e
é o número de microestados acessíveis. Para um mol usamos a constante dos gases
e então trabalhamos com entropias molares
em
.
Passo 3
Fatores que aumentam a entropia — como decidir qualitativamente:
- Fase: geralmente
. Gases têm muito mais microestados porque as partículas podem se mover livremente (grande liberdade translacional). - Temperatura: ao aumentar
mais modos (vibrações, rotações, translações) ficam energeticamente acessíveis, aumentando e, portanto, . - Conclusão qualitativa importante: tudo o mais constante, um gás à temperatura ambiente tende a ter entropia molar muito maior que um sólido frio.
Passo 4
Aplicando os fatores ao nosso par: diferença de fase
- A amostra A está no estado sólido: em um sólido cristalino as moléculas vibram em torno de posições fixas; as libertades de movimento são poucas (principalmente modos vibracionais coletivos), então
é relativamente pequeno. - A amostra B está no estado gasoso: as moléculas têm liberdade translacional em todo o volume, além de rotações ativas; isso gera um número de microestados muito maior que no sólido. Portanto só pela diferença de fase já esperamos
, em condições típicas.
Passo 5
Aplicando os fatores ao nosso par: diferença de temperatura
- A amostra A está a
, que é uma temperatura muito baixa. Segundo a terceira lei da termodinâmica, para um cristal perfeito a entropia tende a zero quando ; em temperaturas baixas muitos modos vibracionais não estão excitados, então a entropia é pequena. - A amostra B está a
(temperatura ambiente). A essa os modos translacionais e rotacionais já estão amplamente acessíveis; isso aumenta muito a entropia em comparação com um sólido a .
Passo 6
Argumento quantitativo de ordem de grandeza (para firmar a intuição)
- Entropias molares padrão conhecidas mostram a diferença típica: por exemplo, a entropia molar padrão de
a é da ordem de
- Já um sólido molecular de nitrogênio a temperaturas muito baixas tem entropia molar muito menor — tipicamente alguns
ou até frações disso quando está bem abaixo das temperaturas onde modos vibracionais se excitam. Pelo argumento da terceira lei, a há poucas excitações térmicas, então é muito menor que . - Conclusão numérica qualitativa: entropia do gás a
é dezenas a centenas de vezes maior que a do sólido a .
Passo 7
Síntese final e linguagem intuitiva (por que escolher o gás)
- O gás a
tem muito mais graus de liberdade efetivos (translação e rotação totalmente acessas, plus alguma contribuição vibracional) e está em temperatura alta o bastante para ocupar um enorme espaço de microestados . - O sólido a
tem as moléculas praticamente presas e pouca energia térmica para excitar modos; por isso seu é pequeno e sua entropia é baixa. - Então, sem complicar com cálculos precisos, a escolha óbvia e justificada é que o gás a
tem a maior entropia.