lim x +infty(1-4x)^x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite limxto+inftyl(1-tfrac4xr)^x. O conteúdo da matéria é limites exponenciais na forma indeterminada 1^infty, e para resolver vamos usar a definição de exponencial via logaritmo e a expansão de Taylor de ln(1+u).

Passo 2

Reescrevemos a potência como uma exponencial usando a identidade a^b=exp(bln(a)):
l(1-tfrac4xr)^x = expl(xln(1-tfrac4x)r)

Passo 3

Analisamos o limite do expoente:
L = limxto+infty xlnl(1-tfrac4xr)
Como u=-tfrac4xto0, usamos ln(1+u)=u+o(u). Logo
lnl(1-tfrac4xr) = -tfrac4x + ol(tfrac1xr),
multiplicando por x vem
L = limxto+inftyl(-4 + o(1)r) = -4

Passo 4

Como a função exp é contínua, o limite original é
limxto+inftyl(1-tfrac4xr)^x = exp(L) = exp(-4) = e^-4

Resposta

e^{-4}

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