Escolha apenas uma entre as funçōes
ou
:
Encontre os pontos criticos e determine se são máximos ou mínimos locais.
Encontre os pontos criticos e determine se são máximos ou mínimos locais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que escolher entre as funções $ f(x) = \frac{x}{x + \ln x} $ ou $ g(x) = (2x + 1)e{-x{2}} $. Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessas funções e determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, já que pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é zero ou não existe.
Passo 2
Vou escolher a função $ g(x) = (2x + 1)e{-x{2}} $ para resolver. Primeiro, precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a $ x $. Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u(x)v(x) $ é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $.
Passo 3
Vamos identificar $ u(x) = 2x + 1 $ e $ v(x) = e{-x{2}} $. Agora, vamos calcular as derivadas de $ u $ e $ v $:
- $ u’(x) = 2 $
- Para $ v’(x) $, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do produto:
Vamos simplificar isso:
Fatorando $ e{-x{2}} $:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero:
Sabemos que $ e{-x{2}} $ nunca é zero, então precisamos resolver:
Vamos rearranjar:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ 4x^{2} + 2x - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 4 $, $ b = 2 $, e $ c = -2 $. Calculando:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 7
Agora que encontramos os pontos críticos $ x = 0,5 $ e $ x = -1 $, precisamos determinar se são máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada.
Passo 8
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada $ g’’(x) $. Já tínhamos:
Para derivar isso, vamos usar a regra do produto novamente:
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:
Distribuindo e simplificando dentro dos colchetes:
Portanto:
Passo 9
Agora vamos avaliar $ g’’(x) $ nos pontos críticos.
Para $ x = 0,5 $:
Calculando:
Como $ g’’(0,5) < 0 $, isso indica que $ x = 0,5 $ é um ponto de máximo local.
Para $ x = -1 $:
Como $ g’’(-1) > 0 $, isso indica que $ x = -1 $ é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função $ g(x) = (2x + 1)e{-x{2}} $ são $ x = 0,5 $ (máximo local) e $ x = -1 $ (mínimo local).