Escolha apenas uma entre as funçōes f(x)=xx+ln x ou g(x)=(2 x+1) e^-x^2 :
Encontre os pontos criticos e determine se são máximos ou mínimos locais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que escolher entre as funções $ f(x) = \frac{x}{x + \ln x} $ ou $ g(x) = (2x + 1)e{-x{2}} $. Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessas funções e determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, já que pontos críticos ocorrem onde a derivada da função é zero ou não existe.

Passo 2

Vou escolher a função $ g(x) = (2x + 1)e{-x{2}} $ para resolver. Primeiro, precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a $ x $. Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u(x)v(x) $ é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $.

Passo 3

Vamos identificar $ u(x) = 2x + 1 $ e $ v(x) = e{-x{2}} $. Agora, vamos calcular as derivadas de $ u $ e $ v $:
  • $ u’(x) = 2 $
  • Para $ v’(x) $, usamos a regra da cadeia: u(x) = 2x + 1

Passo 4

Agora, aplicando a regra do produto:
g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2 cdot e^-x^2 + (2x + 1)(-2x e^-x^2)
Vamos simplificar isso:
g'(x) = 2 e^-x^2 - (2x + 1)(2x) e^-x^2 = 2 e^-x^2 - (4x^2 + 2x) e^-x^2
Fatorando $ e{-x{2}} $:
e^-x^2

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero:
e^-x^2 (2 - 4x^2 - 2x) = 0
Sabemos que $ e{-x{2}} $ nunca é zero, então precisamos resolver:
e^-x^2
Vamos rearranjar:
2 - 4x^2 - 2x = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
-4x^2 - 2x + 2 = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ 4x^{2} + 2x - 2 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
4x^2 + 2x - 2 = 0
Onde $ a = 4 $, $ b = 2 $, e $ c = -2 $. Calculando:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então:
a = 4
Isso nos dá duas soluções:
b = 2

Passo 7

Agora que encontramos os pontos críticos $ x = 0,5 $ e $ x = -1 $, precisamos determinar se são máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada.

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada $ g’’(x) $. Já tínhamos:
g''(x)
Para derivar isso, vamos usar a regra do produto novamente:
g'(x) = e^-x^2 (2 - 4x^2 - 2x)
Calculando as derivadas:
g''(x) = ddx ( e^-x^2 ) (2 - 4x^2 - 2x) + e^-x^2 ddx(2 - 4x^2 - 2x)
Então:
ddx e^-x^2 = -2x e^-x^2, ddx(2 - 4x^2 - 2x) = -8x - 2
Simplificando:
g''(x) = (-2x e^-x^2)(2 - 4x^2 - 2x) + e^-x^2 (-8x - 2)
Distribuindo e simplificando dentro dos colchetes:
g''(x) = e^-x^2 [ -2x(2 - 4x^2 - 2x) -8x - 2 ]
Portanto:
-4x + 8x^3 + 4x^2 -8x -2 = 8x^3 + 4x^2 -12x -2

Passo 9

Agora vamos avaliar $ g’’(x) $ nos pontos críticos.
Para $ x = 0,5 $:
g''(x)
Calculando:
x = 0,5
Como $ g’’(0,5) < 0 $, isso indica que $ x = 0,5 $ é um ponto de máximo local.
Para $ x = -1 $:
g''(0,5) = e^-0,25 (8(0,5)^3 + 4(0,5)^2 -12(0,5) -2)
Como $ g’’(-1) > 0 $, isso indica que $ x = -1 $ é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função $ g(x) = (2x + 1)e{-x{2}} $ são $ x = 0,5 $ (máximo local) e $ x = -1 $ (mínimo local).

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