A partir da fórmula
cos (2 theta)=cos ^2(theta)-sen^2(theta)
obtenha uma fórmula para
cos (2 theta)
em função de cos (theta).
Dica: Lembre-se de que cos ^2(theta)+sen^2(theta)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá \ $\cos(2\theta)=\cos2(\theta)-\sin2(\theta)\$ e lembra que \ $\cos2(\theta)+\sin2(\theta)=1\$. Vamos usar essas duas identidades para escrever $\cos(2\theta)$ somente em termos de $\cos(\theta)$.

Passo 2

Usar a identidade pitagórica para isolar $\sin^2(\theta)$. Da relação \ $\cos2(\theta)+\sin2(\theta)=1\$ segue que \ $\sin2(\theta)=1-\cos2(\theta)\$.

Passo 3

Substituir $\sin^2(\theta)$ na fórmula inicial de $\cos(2\theta)$. Assim, \ $\cos(2\theta)=\cos2(\theta)-(1-\cos2(\theta))\$.

Passo 4

Fazer a simplificação algébrica: \ $\cos(2\theta)=\cos2(\theta)-1+\cos2(\theta)=2\cos^2(\theta)-1\$, que é a fórmula desejada.

Resposta

cos(2theta)=2cos^2(theta)-1

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