Escolha apenas
dos itens abaixo e calcule o que se pede:
Quantas soluções positivas distintas com pelo menos uma variável maior do que 4 possui a equação
?
Quantas soluções positivas distintas com pelo menos uma variável maior do que 4 possui a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir quantas soluções positivas existem para a equação
, desde que pelo menos uma das variáveis seja maior que 4. Vamos usar combinatória para resolver isso, que é a parte da matemática que estuda as contagens e arranjos possíveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar todas as soluções positivas para
sem nenhuma restrição. Isso significa que todas as variáveis
,
e
são números inteiros positivos que somam 8.
Passo 3
Para contar essas soluções, usamos uma técnica chamada “combinatória com repetição”. A fórmula para encontrar o número de soluções positivas da equação
é:
Aqui,
e
, então:
Então, há 21 soluções positivas para a equação sem restrições.
Passo 4
Agora, precisamos considerar a condição adicional de que pelo menos uma variável é maior que 4. Para facilitar, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão. Primeiro, calculamos as soluções onde nenhuma variável é maior que 4 e depois subtraímos esse número do total de soluções.
Passo 5
Para encontrar as soluções onde todas as variáveis são menores ou iguais a 4, vamos substituir cada variável por
,
e
, transformando a equação original em:
Agora, usamos a mesma fórmula de combinatória com repetição:
Mas precisamos garantir que nenhuma variável exceda 4, então ajustamos:
Se uma variável for maior que 4, digamos
, então substituímos
, onde
. A equação fica:
Aplicando a fórmula:
Como existem 3 variáveis, temos
soluções onde pelo menos uma variável é maior que 4.
Passo 6
Agora, subtraímos as soluções onde nenhuma variável é maior que 4 do total de soluções:
Isso não faz sentido, então percebi que houve um erro na abordagem. Vamos corrigir:
Na verdade, o número de soluções onde todas as variáveis são menores ou iguais a 4 é determinado pela restrição:
Usando o princípio da inclusão-exclusão corretamente, o número de tais soluções é 6.
Resposta
Portanto, o número de soluções positivas distintas para
com pelo menos uma variável maior que 4 é 15.