Escolha apenas 3 dos itens abaixo e calcule o que se pede:
Quantos números entre 1 e 1000000 são quadrados perfeitos, ou cubos perfeitos, ou quintas potências perfeitas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir quantos números entre 1 e 1.000.000 são quadrados perfeitos, cubos perfeitos ou quintas potências perfeitas. Isso envolve conceitos de potências e contagem. Para resolver, vamos precisar entender como identificar esses tipos de números e contar cada categoria, garantindo que não vamos contar nenhum número mais de uma vez.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantos quadrados perfeitos existem entre 1 e 1.000.000. Um número é um quadrado perfeito se pode ser expresso como $ n^2 $, onde $ n $ é um inteiro.
Para encontrar o maior quadrado perfeito menor ou igual a 1.000.000, calculamos a raiz quadrada de 1.000.000:
n^2
Isso significa que $ 1.000^2 = 1.000.000 $ é o maior quadrado perfeito nessa faixa. Portanto, existem 1.000 quadrados perfeitos entre 1 e 1.000.000.

Passo 3

Agora, vamos contar os cubos perfeitos. Um número é um cubo perfeito se pode ser expresso como $ n^3 $.
Calculamos a raiz cúbica de 1.000.000:
n^3
Então, $ 100^3 = 1.000.000 $ é o maior cubo perfeito nessa faixa. Assim, há 100 cubos perfeitos entre 1 e 1.000.000.

Passo 4

Vamos para as quintas potências perfeitas, que são números da forma $ n^5 $.
Calculando a raiz quinta de 1.000.000:
n^5
Portanto, $ 10^5 = 100.000 $ é a maior quinta potência perfeita menor ou igual a 1.000.000. Há 10 quintas potências perfeitas nesse intervalo.

Passo 5

Agora, precisamos considerar que alguns números podem ser tanto quadrados quanto cubos, ou outras combinações, e assim por diante. Para evitar contagens duplicadas, usamos o Princípio da Inclusão-Exclusão.
Primeiro, encontramos os números que são quadrados e cubos ao mesmo tempo, ou seja, sextas potências perfeitas ($ n^6 $):
n^6
Então, há 10 números que são quadrados e cubos.
Em seguida, números que são quadrados e quintas potências ($ n^{10} $):
raiz[6]1.000.000 approx 10
Assim, temos 3 números nesses casos.
Também, números que são cubos e quintas potências ($ n^{15} $):
n^10
Portanto, há 2 números que são cubos e quintas potências ao mesmo tempo.
Por fim, consideramos os números que são quadrados, cubos e quintas potências juntas ($ n^{30} $):
raiz[10]1.000.000 approx 3
Há apenas 1 número que se encaixa nessas três categorias simultaneamente.

Passo 6

Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão para combinar tudo:
Total = (Quadrados) + (Cubos) + (Quintas) - (Quadrados e Cubos) - (Quadrados e Quintas) - (Cubos e Quintas) + (Quadrados, Cubos e Quintas)
Substituindo os valores:
Total = 1000 + 100 + 10 - 10 - 3 - 2 + 1 = 1096

Resposta

Entre 1 e 1.000.000, existem 1.096 números que são quadrados perfeitos, cubos perfeitos ou quintas potências perfeitas.

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