( \mathbf{2 , 0} ptos) Calcule o gradiente e a derivada direcional indicada das função
f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{4}+x^{2} y^{2} z^{2}+z^{4}}}
no ponto P(1,-1,1) e na direção do vetor \vec{u}=(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o gradiente e a derivada direcional da função f no ponto P(1,-1,1) na direção do vetor \vec{u}=(1,0,1).
Informações dadas:
f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^{4}+x^{2}y^{2}z^{2}+z^{4}}}
Ponto:
P=(1,-1,1)
Vetor de direção:
\vec{u}=(1,0,1)

Passo 2

Estratégia (resumida): vou calcular o gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z) usando regra da cadeia e regra do poder; depois avalio esse gradiente em P. Para a derivada direcional na direção de \vec{u} eu normalizo \vec{u} (pois a derivada direcional usa um vetor unitário) e faço o produto escalar entre o gradiente em P e o vetor unitário.
Breve aula sobre as regras que usarei:
\text{Se }f=g(h(x,y,z))\text{ com }g(t)=t^{-1/2},\text{ então }\frac{\partial f}{\partial x}=g'(h)\,\frac{\partial h}{\partial x}.ã
Aqui g'(t)=-\tfrac{1}{2}t^{-3/2}. Isso é a regra da cadeia combinada com a derivada de uma potência.

Passo 3

Defino a função intermediária
h(x,y,z)=x^{4}+x^{2}y^{2}z^{2}+z^{4},
para que
f(x,y,z)=h(x,y,z)^{-1/2}.
Calculo as derivadas parciais de h:
\frac{\partial h}{\partial x}=4x^{3}+2x y^{2} z^{2},
\frac{\partial h}{\partial y}=2x^{2} y z^{2},
\frac{\partial h}{\partial z}=4z^{3}+2x^{2} y^{2} z.
Explicação rápida de cada termo: por exemplo, \partial (x^{4})/\partial x=4x^{3}; para x^{2}y^{2}z^{2} em relação a x aparece 2x y^{2} z^{2}, etc.

Passo 4

Aplico a regra da cadeia com g'(t)=-\tfrac{1}{2}t^{-3/2}. Assim as derivadas parciais de f são
\frac{\partial f}{\partial x}=-\tfrac{1}{2}h^{-3/2}\,(4x^{3}+2x y^{2} z^{2}),
\frac{\partial f}{\partial y}=-\tfrac{1}{2}h^{-3/2}\,(2x^{2} y z^{2}),
\frac{\partial f}{\partial z}=-\tfrac{1}{2}h^{-3/2}\,(4z^{3}+2x^{2} y^{2} z).
Posso simplificar fatorando -\tfrac{1}{2} nos coeficientes:
\frac{\partial f}{\partial x}=h^{-3/2}\,(-2x^{3}-x y^{2} z^{2}),
\frac{\partial f}{\partial y}=h^{-3/2}\,(-x^{2} y z^{2}),
\frac{\partial f}{\partial z}=h^{-3/2}\,(-2z^{3}-x^{2} y^{2} z).
Logo o gradiente geral é
\nabla f(x,y,z)=h(x,y,z)^{-3/2}\,(-2x^{3}-x y^{2} z^{2},\,-x^{2} y z^{2},\,-2z^{3}-x^{2} y^{2} z).

Passo 5

Agora avalio em P=(1,-1,1). Primeiro calculo h(P):
h(1,-1,1)=1^{4}+1^{2}\cdot(-1)^{2}\cdot1^{2}+1^{4}=1+1+1=3.
Portanto h(P)=3 e
h(P)^{-3/2}=3^{-3/2}=\frac{1}{3^{3/2}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}.
Calculo os coeficientes do vetor interno em P:
-2x^{3}-x y^{2} z^{2}\Big|_{P}=-2\cdot1^{3}-1\cdot(-1)^{2}\cdot1^{2}=-2-1=-3,
-x^{2} y z^{2}\Big|_{P}=-1^{2}\cdot(-1)\cdot1^{2}=+1,
-2z^{3}-x^{2} y^{2} z\Big|_{P}=-2\cdot1^{3}-1^{2}\cdot(-1)^{2}\cdot1=-2-1=-3.
Logo
\nabla f(1,-1,1)=3^{-3/2}\,(-3,\,1,\,-3).
Simplificando componente a componente:
-3\cdot 3^{-3/2}=-3^{1}\cdot 3^{-3/2}=3^{-1/2}(-1)=-\frac{1}{\sqrt{3}},
1\cdot 3^{-3/2}=\frac{1}{3\sqrt{3}}.
Portanto
\nabla f(1,-1,1)=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\;\frac{1}{3\sqrt{3}},\;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 6

Agora a derivada direcional. Primeiro o vetor unitário correspondente a \vec{u}=(1,0,1) é
\mathbf{u}_{0}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=\frac{(1,0,1)}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{(1,0,1)}{\sqrt{2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
A derivada direcional de f em P na direção de \vec{u} é o produto escalar
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}_{0}.
Faço o produto escalar passo a passo:
D_{\vec{u}}f(P)=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)(0)+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Somando os termos não-nulos:
D_{\vec{u}}f(P)=-\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{2}}=-\frac{2}{\sqrt{6}}.
Simplificando -\tfrac{2}{\sqrt{6}}:
-\frac{2}{\sqrt{6}}=-\frac{2\sqrt{6}}{6}=-\frac{\sqrt{6}}{3}.

Resposta

\nabla f(1,-1,1)=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}},\;\frac{1}{3\sqrt{3}},\;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
D_{\vec{u}}f(1,-1,1)=-\frac{\sqrt{6}}{3}

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