Considere o campo vetorial
e uma curva suave
que liga os pontos
e
.
a)
ponto
Verifique que
é um campo vetorial conservativo (sem calcular
que satisfaz
).
b)
ponto
Encontre
tal que
.
c)
ponto
Calcule
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e uma curva suave
que liga os pontos
e
. As perguntas são:
a) Verificar que é conservativo (sem calcular a potencial).
b) Encontrar uma função tal que
.
c) Calcular .
a) Verificar que
b) Encontrar uma função
c) Calcular
Passo 2
Condição prática para decidir se um campo vetorial bidimensional
é conservativo (em domínios simples, sem buracos): calcular as derivadas parciais
e
. Se elas forem iguais em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo (como
), então
é conservativo. Explicando de leve: isso vem do fato de que o “rotacional” em 2D é
; se for zero e o domínio não tiver buracos, existe potencial cujo gradiente é
. Aqui não vamos calcular o potencial ainda (isso atende à restrição da parte a).
Passo 3
Identifico
e
. Agora calculo as derivadas parciais pedidas, passo a passo:
Calcule
. Tratando
como constante,
Calcule
. Tratando
como constante,
Como
para todo
e o domínio natural do campo é
(que é simplesmente conexo), concluímos que
é um campo conservativo. (Isto responde a) sem calcular o potencial.)
Passo 4
Agora vou achar uma função
tal que
. A estratégia padrão e direta: integrar
em relação a
(porque
), obtendo uma função que inclui uma função arbitrária de
. Ou seja, parto de
Integro em
:
onde
é uma função desconhecida de
(constante em relação a
).
Passo 5
Determino
impondo que
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Mas deve ser igual a
. Assim
Logo
é constante. Posso escolher a constante igual a zero (potencial definido a uma constante multiplicativa), então uma boa escolha para o potencial é
Para simplicidade tomo
:
Passo 6
Para calcular a integral de linha
usando que
é conservativo, aplico o Teorema Fundamental para campos gradiente (independência de caminho): a integral ao longo de
depende apenas dos pontos finais e vale
Aqui o ponto inicial é
e o ponto final é
. Então avalio
nesses pontos. Primeiro
Depois
Portanto
Resposta
a)
é conservativo.
b) (posso tomar
).
c) .
b)
c)