Considere o campo vetorial
F(x, y)=-e^{x} \cos y \vec{i}+e^{x} \operatorname{sen} y \vec{j}
e uma curva suave C que liga os pontos \left(2, \frac{\pi}{2}\right) e (\pi, 0).
a) [0,5 ponto ] Verifique que F é um campo vetorial conservativo (sem calcular f que satisfaz F=\nabla f ).
b) [1 ponto ] Encontre f tal que F=\nabla f.
c) [1 ponto ] Calcule \int_{C} F \cdot d r.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
F(x,y)= -e^{x}\cos y\,\vec{i} + e^{x}\sin y\,\vec{j}
e uma curva suave C que liga os pontos \left(2,\frac{\pi}{2}\right) e \left(\pi,0\right). As perguntas são:
a) Verificar que F é conservativo (sem calcular a potencial).
b) Encontrar uma função f tal que F=\nabla f.
c) Calcular \displaystyle\int_{C} F\cdot d r.

Passo 2

Condição prática para decidir se um campo vetorial bidimensional F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) é conservativo (em domínios simples, sem buracos): calcular as derivadas parciais \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} e \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}. Se elas forem iguais em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo (como \mathbb{R}^2), então F é conservativo. Explicando de leve: isso vem do fato de que o “rotacional” em 2D é \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}; se for zero e o domínio não tiver buracos, existe potencial cujo gradiente é F. Aqui não vamos calcular o potencial ainda (isso atende à restrição da parte a).

Passo 3

Identifico P(x,y)=-e^{x}\cos y e Q(x,y)=e^{x}\sin y. Agora calculo as derivadas parciais pedidas, passo a passo:
Calcule \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}. Tratando x como constante,
\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{x}\cos y\big) = -e^{x}\cdot(-\sin y) = e^{x}\sin y.
Calcule \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}. Tratando y como constante,
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\sin y\big) = e^{x}\sin y.
Como \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = e^{x}\sin y = \frac{\partial Q}{\partial x} para todo (x,y) e o domínio natural do campo é \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexo), concluímos que F é um campo conservativo. (Isto responde a) sem calcular o potencial.)

Passo 4

Agora vou achar uma função f(x,y) tal que \nabla f = F. A estratégia padrão e direta: integrar P em relação a x (porque f_x=P), obtendo uma função que inclui uma função arbitrária de y. Ou seja, parto de
\frac{\partial f}{\partial x} = -e^{x}\cos y.
Integro em x:
f(x,y)=\int -e^{x}\cos y\,dx = -e^{x}\cos y + g(y),
onde g(y) é uma função desconhecida de y (constante em relação a x).

Passo 5

Determino g(y) impondo que \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=Q. Calculo f_y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{x}\cos y + g(y)\big) = -e^{x}\cdot(-\sin y) + g'(y) = e^{x}\sin y + g'(y).
Mas deve ser igual a Q(x,y)=e^{x}\sin y. Assim
e^{x}\sin y + g'(y) = e^{x}\sin y \quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Logo g(y) é constante. Posso escolher a constante igual a zero (potencial definido a uma constante multiplicativa), então uma boa escolha para o potencial é
f(x,y) = -e^{x}\cos y + C.
Para simplicidade tomo C=0:
f(x,y) = -e^{x}\cos y.

Passo 6

Para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}F\cdot d r usando que F é conservativo, aplico o Teorema Fundamental para campos gradiente (independência de caminho): a integral ao longo de C depende apenas dos pontos finais e vale
\int_{C} F\cdot d r = f\big(\text{ponto final}\big) - f\big(\text{ponto inicial}\big).
Aqui o ponto inicial é \left(2,\frac{\pi}{2}\right) e o ponto final é \left(\pi,0\right). Então avalio f nesses pontos. Primeiro
f\big(\pi,0\big) = -e^{\pi}\cos 0 = -e^{\pi}\cdot 1 = -e^{\pi}.
Depois
f\!\left(2,\frac{\pi}{2}\right) = -e^{2}\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -e^{2}\cdot 0 = 0.
Portanto
\int_{C} F\cdot d r = f(\pi,0)-f\!\left(2,\frac{\pi}{2}\right) = -e^{\pi} - 0 = -e^{\pi}.

Resposta

a) F é conservativo.
b) f(x,y) = -e^{x}\cos y + C (posso tomar C=0).
c) \displaystyle\int_{C}F\cdot dr = -e^{\pi}.

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