Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, determine a área da região
limitada acima por y=x+6 e abaixo por y=x^2 e nas laterais por x=0 e x=2;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente quer achar a área de uma região que tá acima da reta y = x + 6, abaixo da parábola y = x^2 e limitada pelas linhas verticais x = 0 e x = 2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que é uma ferramenta poderosa pra calcular áreas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir qual das duas funções, y = x + 6 ou y = x^2, está mais acima no intervalo de x = 0 a x = 2. Isso é importante porque a área vai ser a diferença entre as duas funções nesse intervalo.

Passo 3

Vamos verificar em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, em x = 1:
  • Para y = x + 6: 1 + 6 = 7
  • Para y = x^2: 1^2 = 1
Como 7 > 1, a reta y = x + 6 tá acima da parábola y = x^2 nesse intervalo.

Passo 4

Agora que sabemos qual função tá em cima, podemos montar a integral que representa a área entre elas. A fórmula geral é a integral da função de cima menos a função de baixo, de x = a até x = b. No nosso caso:
Área = integral0^2 ( (x + 6) - (x^2) ) , dx Á

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral0^2 (x + 6 - x^2) , dx = integral0^2 (-x^2 + x + 6) , dx
Agora, vamos calcular a antiderivada de cada termo:
  • A antiderivada de -x^2 é -x^33
  • A antiderivada de x é x^22
  • A antiderivada de 6 é 6x

Passo 6

Então, a antiderivada completa é:
-x^33 + x^22 + 6x
Avaliaremos isso de x = 0 até x = 2:
[ -2^33 + 2^22 + 6 cdot 2 ] - [ -0^33 + 0^22 + 6 cdot 0 ]
Simplificando:
-83 + 2 + 12 - 0 = -83 + 14

Passo 7

Agora, vamos somar os termos:
-83 + 14 = -8 + 423 = 343

Resposta

A área da região é 343 unidades quadradas.

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