Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, determine a área da região
limitada acima por
e abaixo por
e nas laterais por
;
limitada acima por
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente quer achar a área de uma região que tá acima da reta
, abaixo da parábola
e limitada pelas linhas verticais
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que é uma ferramenta poderosa pra calcular áreas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir qual das duas funções,
ou
, está mais acima no intervalo de
a
. Isso é importante porque a área vai ser a diferença entre as duas funções nesse intervalo.
Passo 3
Vamos verificar em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, em
:
- Para
: - Para
:
Como
, a reta
tá acima da parábola
nesse intervalo.
Passo 4
Agora que sabemos qual função tá em cima, podemos montar a integral que representa a área entre elas. A fórmula geral é a integral da função de cima menos a função de baixo, de
até
. No nosso caso:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, vamos calcular a antiderivada de cada termo:
- A antiderivada de
é - A antiderivada de
é - A antiderivada de
é
Passo 6
Então, a antiderivada completa é:
Avaliaremos isso de
até
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos somar os termos:
Resposta
A área da região é
unidades quadradas.